Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
a) Mostre que T é transformação linear;
b) Determine os subespaços vetoriais núcleo \operatorname{Ker}(T) e a imagem \operatorname{Im}(T);
c) Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T);
d) Determine a dimensão do \operatorname{Ker}(T) e da \operatorname{Im}(T);

Passo 1

O enunciado define
T\colon \mathbb{R}^3\to\mathbb{R}^2,\quad T(x,y,z)=(\,x-3y+5z,\,-x+4y-z\,)
e pede:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) encontrar \ker(T) e \operatorname{Im}(T);
– (c) dar uma base para cada um;
– (d) determinar as dimensões de \ker(T) e \operatorname{Im}(T).

Passo 2

Para provar linearidade, basta verificar que para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R} vale
T(u+v)=T(u)+T(v), \qquad T(c\,u)=c\,T(u).
Seja u=(x_1,y_1,z_1) e v=(x_2,y_2,z_2). Então
T(u+v) =\bigl((x_1+x_2)-3(y_1+y_2)+5(z_1+z_2),\,-(x_1+x_2)+4(y_1+y_2)-(z_1+z_2)\bigr)
que se separa em
(x_1-3y_1+5z_1,\,-x_1+4y_1-z_1)+(x_2-3y_2+5z_2,\,-x_2+4y_2-z_2) =T(u)+T(v).
De modo análogo mostra-se T(cu)=c\,T(u). Logo T é linear.

Passo 3

Escrevendo T na base canônica, temos a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & -3 & 5\\\\ -1& 4 & -1 \end{pmatrix},
pois T(x,y,z)=A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix}.

Passo 4

Para o núcleo, resolvemos
A\begin{pmatrix}x\y\z\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\\ 0\end{pmatrix},
isto é o sistema
\begin{cases} x-3y+5z=0,\\\\ -\,x+4y-z=0. \end{cases}

Passo 5

Somando as duas equações vem
(x-3y+5z)+(-x+4y-z)=y+4z=0 \quad\Longrightarrow\quad y=-4z.
Substituindo em x-3y+5z=0
x-3(-4z)+5z=x+17z=0 \quad\Longrightarrow\quad x=-17z.
Logo
\ker(T)=\{(x,y,z)\mid (x,y,z)=t(-17,-4,1),\,t\in\mathbb{R}\}.

Passo 6

A imagem é o subespaço gerado pelas colunas de A, ou equivalente pelos vetores
T(e_1)=(1,-1),\quad T(e_2)=(-3,4),\quad T(e_3)=(5,-1).

Passo 7

Em \mathbb{R}^2 basta escolher dois vetores linearmente independentes. Note que (1,-1) e (-3,4) não são múltiplos um do outro, logo
\operatorname{Im}(T) =\mathrm{span}\{(1,-1),\,(-3,4)\} =\mathbb{R}^2.

Passo 8

O número de vetores na base de cada subespaço dá sua dimensão:
\dim(\ker(T))=1, \qquad \dim(\operatorname{Im}(T))=2.
Isso está de acordo com o Teorema da Dimensão em \mathbb{R}^3.

Resposta

a) T é linear.
b) \ker(T)=\{t(-17,-4,1)\mid t\in\mathbb{R}\}, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
c) Base de \ker(T): \{(-17,-4,1)\}.
Base de \operatorname{Im}(T): \{(1,-1),\,(-3,4)\}.
d) \dim(\ker(T))=1, \dim(\operatorname{Im}(T))=2.

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