Seja T: \mathbb{R}^{3} \longrightarrow \mathbb{R}^{2} dada por T(x, y, z)=(x-3 y+5 z,-x+4 y-z).
a) Mostre que T é transformação linear;
b) Determine os subespaços vetoriais núcleo \operatorname{Ker}(T) e a imagem \operatorname{Im}(T);
c) Determine uma base para cada um dos subespaços vetoriais: \operatorname{Ker}(T) e \operatorname{Im}(T);
d) Determine a dimensão do \operatorname{Ker}(T) e da \operatorname{Im}(T);
e pede:
– (a) mostrar que T é linear;
– (b) encontrar \ker(T) e \operatorname{Im}(T);
– (c) dar uma base para cada um;
– (d) determinar as dimensões de \ker(T) e \operatorname{Im}(T).
Passo 2
Para provar linearidade, basta verificar que para quaisquer u,v\in\mathbb{R}^3 e c\in\mathbb{R} vale
Isso está de acordo com o Teorema da Dimensão em \mathbb{R}^3.
Resposta
a) T é linear.
b) \ker(T)=\{t(-17,-4,1)\mid t\in\mathbb{R}\}, \operatorname{Im}(T)=\mathbb{R}^2.
c) Base de \ker(T): \{(-17,-4,1)\}.
Base de \operatorname{Im}(T): \{(1,-1),\,(-3,4)\}.
d) \dim(\ker(T))=1, \dim(\operatorname{Im}(T))=2.