Verifique se são operadores lineares no espaço mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) :
T(p(x))=p^{\prime}(x)+x^{2} p^{\prime \prime}(x)

Passo 1

O enunciado define o operador
T\colon \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) \to \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}), \quad T\bigl(p(x)\bigr) = p'(x) + x^{2}\,p''(x).
Precisamos verificar duas coisas:
  1. Que T(p) realmente está em \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}).
  2. Que T satisfaz a propriedade de linearidade \displaystyle T\bigl(c\,p + d\,q\bigr)=c\,T(p)+d\,T(q).

Passo 2

Para ver que T(p)\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}), note que se \deg p\le n então
  • \deg p'\le n-1,
  • \deg p''\le n-2,
  • ao multiplicar p'' por x^{2} obtemos um polinômio de grau ≤ (n-2)+2 = n.
    Somando com p' (grau ≤ n-1), o resultado continua sendo de grau ≤ n.

Passo 3

Para a linearidade, tomemos dois polinômios p,q\in\mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}) e escalares c,d\in\mathbb{R}. Então
T\bigl(c\,p + d\,q\bigr) = \bigl(c\,p + d\,q\bigr)' + x^{2}\,\bigl(c\,p + d\,q\bigr)''.
Como derivada e segunda derivada são lineares, isso equivale a
c\,p' + d\,q' \;+\; x^{2}\,\bigl(c\,p'' + d\,q''\bigr) = c\,\bigl(p' + x^{2}p''\bigr) + d\,\bigl(q' + x^{2}q''\bigr) = c\,T(p) + d\,T(q).

Resposta

O operador T é linear em \mathcal{P}_{n}(\mathbb{R}).

Exercícios relacionados