Determine se o sistema tem (a) uma única solução; (b) nenhuma solução; (c) infinitas soluções.
3x+2y=1
6x+4y=k

Passo 1

O enunciado dá o sistema
3x+2y=1, 6x+4y=k,
e pede para classificar o número de soluções. Vamos aplicar o método de Cramer, que diz:
  • Se De<aneq0, há solução única.
  • Se De<a=0 e De<ax=De<ay=0, há infinitas soluções.
  • Se De<a=0 e pelo menos um de De<ax,De<ayneq0, não há solução.

Passo 2

Calcular o determinante principal e os determinantes substitutos:
De<a = 3 & 2 6 & 4 =3cdot4 - 2cdot6 =12-12 =0
De<ax = 1 & 2 k & 4 =1cdot4 - 2cdot k =4 - 2k
De<ay = 3 & 1 6 & k =3cdot k - 1cdot6 =3k - 6

Passo 3

Como De<a=0, não teremos solução única. Devemos então ver se De<ax e De<ay também são zero:
De<ax=0 ;Longrightarrow; 4-2k=0 ;Longrightarrow; k=2,
De<ay=0 ;Longrightarrow; 3k-6=0 ;Longrightarrow; k=2
Ambos só se anulam simultaneamente quando k=2.

Passo 4

Conclusões:
  • Se k=2, então De<a=0 e De<ax=De<ay=0, logo há infinitas soluções.
  • Se kneq2, então De<a=0 mas pelo menos um de De<ax,De<ayneq0, logo não há solução.

Resposta

Para kneq2: o sistema não tem solução (caso (b)).
Para k=2: o sistema tem infinitas soluções (caso (c)).
Não existe valor de k que produza uma solução única.

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