Nos Exercícios 11 a 22, utilize operações de linha para transformar cada matriz na forma escalonada. Em seguida, resolva o sistema por substituição.
x1+x2+x3=6
2 x1-2 x2-5 x3=-13
3 x1 +x3+x4=13
4 x1-2 x2-3 x3+x4=1

Passo 1

O enunciado pede para resolver, por eliminação de Gauss (operações de linha), o sistema
x1+x2+x3=6, 2x1-2x2-5x3=-13, 3x1+0x2+x3+x4=13, 4x1-2x2-3x3+x4=1,
colocando a matriz aumentada em forma escalonada e depois fazendo substituição regressiva para encontrar (x1,x2,x3,x4).

Passo 2

Primeiro montamos a matriz aumentada e eliminamos x1 em todas as linhas abaixo da primeira:
[rrrr|r 1 & 1 & 1 & 0 & 6 2 & -2 & -5 & 0 & -13 3 & 0 & 1 & 1 & 13 4 & -2 & -3 & 1 & 1 ] ;xrightarrow,R2-2R1,;R3-3R1,;R4-4R1,; [rrrr|r 1 & 1 & 1 & 0 & 6 0 & -4 & -7 & 0 & -25 0 & -3 & -2 & 1 & -5 0 & -6 & -7 & 1 & -23 ]

Passo 3

Agora eliminamos x2 nas linhas 3 e 4 usando combinações inteiras para evitar frações:
R3& 4R3-3R2, R4& 2R4-3R2,
ficando
[rrrr|r 1 & 1 & 1 & 0 & 6 0 & -4 & -7 & 0 & -25 0 & 0 & 13 & 4 & 55 0 & 0 & 7 & 2 & 29 ]

Passo 4

Por fim, eliminamos x3 da linha 4:
R4 13R4-7R3 longrightarrow [rrrr|r 1 & 1 & 1 & 0 & 6 0 & -4 & -7 & 0 & -25 0 & 0 & 13 & 4 & 55 0 & 0 & 0 & -2 & -8 ]
Agora temos forma triangular superior.

Passo 5

Fazemos substituição regressiva:
-2x4=-8;Rightarrow;x4=4,[6pt] 13x3+4x4=55;Rightarrow;13x3+16=55;Rightarrow;x3=3,[6pt] -4x2-7x3=-25;Rightarrow;-4x2-21=-25;Rightarrow;x2=1,[6pt] x1+x2+x3=6;Rightarrow;x1+1+3=6;Rightarrow;x1=2 ]

Resposta

(x1,x2,x3,x4)=(2,,1,,3,,4).

Exercícios relacionados