Determine se o sistema tem (a) uma única solução; (b) nenhuma solução; (c) infinitas soluções.
3x+2y=11
6x+ky=21

Passo 1

O enunciado apresenta um sistema linear de duas equações com duas incógnitas:
3x + 2y = 11, 6x + k,y = 21
O conteúdo aqui é resolução de sistemas lineares pela análise do determinante da matriz de coeficientes e pela compatibilidade das equações.

Passo 2

Formamos a matriz de coeficientes
A = 3 & 2 6 & k
e calculamos o determinante
det(A) = 3cdot k - 2cdot 6 = 3k - 12

Passo 3

Se det(A)neq 0, isto é, se
3k - 12 neq 0 Long<=ftrightarrow k neq 4,
então o sistema é compatível determinado e tem exatamente uma solução.

Passo 4

Se det(A)=0, ou seja k=4, as retas das duas equações são paralelas ou coincidentes. Para k=4 a segunda equação fica
6x + 4y = 21
e a primeira, ao multiplicar por 2, seria
6x + 4y = 22
Como 21 neq 22, as equações são paralelas e o sistema é incompatível, sem solução.

Passo 5

Não existe valor de k que torne as duas equações exatamente proporcionais com o mesmo termo independentes, logo não há caso de infinitas soluções.

Resposta

(a) uma única solução se k neq 4
(b) nenhuma solução se k = 4
(c) infinitas soluções para nenhum valor de k

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