Seja alpha o plano de equação x+2y-2z+7=0, beta o plano de equação x+2y-2z-5=0, r1 a reta cuja equação vetorial paramétrica é (x, y, z)=(1,1,5)+(2,-3,-2)t, e r2 a reta cujas equações simétricas são x-5-4=y-13=z-11. Com base nessas informações responda se a seguinte sentença é verdadeira ou falsa: A distância do plano alpha ao plano beta é igual a 4.

Passo 1

O enunciado dá dois planos
alpha: x+2y-2z+7=0,
beta: x+2y-2z-5=0,
e pede a distância entre eles. O conteúdo aqui é “distância entre planos paralelos” e vamos usar a fórmula que envolve os termos constantes e o vetor normal.

Passo 2

Para verificar que os planos são paralelos, observamos que ambos têm o mesmo vetor normal
n=(1,2,-2),
pois em todo plano da forma ax+by+cz+d=0 o normal é (a,b,c). Como os dois são gerados pelo mesmo (1,2,-2), são paralelos.

Passo 3

A fórmula da distância entre planos paralelos alpha e beta é
dist(alpha,beta) =l|dalpha-dbetar||n|,
onde dalpha e dbeta são os termos constantes das equações, e
|n|=raiz1^2+2^2+(-2)^2=raiz9=3
Aqui dalpha=7 e dbeta=-5, então
|dalpha-dbeta|=|7-(-5)|=12

Passo 4

Substituindo na fórmula,
dist(alpha,beta)=123=4

Resposta

A sentença é verdadeira.

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