Nos Exercícios 11 a 22, utilize operações de linha para transformar cada matriz na forma escalonada. Em seguida, resolva o sistema por substituição.
4 x1-2 x2-3 x3+x4=3
2 x1-2 x2-5 x3=-10
4 x1+x2+2 x3+x4=17
3 x1+x3+x4=12

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear
4x1-2x2-3x3+x4=3, 2x1-2x2-5x3= -10, 4x1+x2+2x3+x4=17, 3x1+x3+x4=12,
e pede para usar operações de linha (eliminação de Gauss) para levar a matriz aumentada à forma escalonada e, em seguida, resolver por substituição regressiva.

Passo 2

Montamos a matriz aumentada e aplicamos operações para zerar os coeficientes de x1 nas linhas 2, 3 e 4, usando a linha 1 como pivô:
[cccc|c 4 & -2 & -3 & 1 & 3 2 & -2 & -5 & 0 & -10 4 & 1 & 2 & 1 & 17 3 & 0 & 1 & 1 & 12 ] ;xrightarrow,R2to R2-tfrac12R1,;R3to R3-R1,;R4to R4-tfrac34R1,; [cccc|c 4 & -2 & -3 & 1 & 3 0 & -1 & -tfrac72 & -tfrac12 & -tfrac232 0 & 3 & 5 & 0 & 14 0 & tfrac32 & tfrac134 & tfrac14 & tfrac394 ]

Passo 3

Escalonamos a coluna de x2: multiplicamos R2 por -1 para ter pivô 1 e então zeramos os outros na coluna 2:
R2to -R2, R1to R1+2R2, R3to R3-3R2, R4to R4-tfrac32R2,
resultando em
[cccc|c 4 & 0 & 4 & 2 & 26 0 & 1 & tfrac72 & tfrac12 & tfrac232 0 & 0 & -tfrac112 & -tfrac32 & -tfrac412 0 & 0 & -2 & -tfrac12 & -tfrac152 ]

Passo 4

Agora escalonamos a coluna de x3: fazemos R3 com pivô 1 e zeramos acima e abaixo:
R3to -tfrac211R3, R1to R1-4R3, R2to R2-tfrac72R3, R4to R4+2R3,
ficando
[cccc|c 4 & 0 & 0 & tfrac1011 & tfrac12211 0 & 1 & 0 & -tfrac511 & -tfrac1711 0 & 0 & 1 & tfrac311 & tfrac4111 0 & 0 & 0 & tfrac122 & -tfrac122 ]

Passo 5

Escalonamos a coluna de x4: multiplicamos R4 por 22 e zeramos acima:
R4to 22R4, R1to R1-tfrac1011R4, R2to R2+tfrac511R4, R3to R3-tfrac311R4,
chegando à forma triangular superior
[cccc|c 4 & 0 & 0 & 0 & 12 0 & 1 & 0 & 0 & -2 0 & 0 & 1 & 0 & 4 0 & 0 & 0 & 1 & -1 ]

Passo 6

Fazendo a última divisão em R1 por 4 e lendo as variáveis, temos a solução por substituição regressiva:
x4=-1, x3=4, x2=-2, x1=3

Resposta

x1=3,;x2=-2,;x3=4,;x4=-1.

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