Determine se os sistemas nos Exercícios 15 e 16 são consistentes. Não resolva os sistemas completamente.
x1-2 x4 & =-3 2 x2+2 x3 & =0 x3+3 x4 & =1 -2 x1+3 x2+2 x3+x4 & =5

Passo 1

O enunciado dá o sistema linear em quatro variáveis
x1-2x4=-3, 2x2+2x3=0, x3+3x4=1, -2x1+3x2+2x3+x4=5
e pede apenas para determinar se o sistema é consistente, ou seja, se existe ao menos uma solução.

Passo 2

Vamos verificar consistência combinando as equações de maneira a procurar alguma contradição do tipo 0 = b com bneq0. Primeiro, note que da segunda equação
2x2+2x3=0
segue dividindo por 2 que
x2+x3=0 Longrightarrow x2=-x3

Passo 3

Agora use a primeira equação para expressar x1:
x1-2x4=-3 Longrightarrow x1=2x4-3
Substituímos essas duas expressões na quarta equação:
-2x1+3x2+2x3+x4=5
Troque x1=2x4-3 e x2=-x3:
-2(2x4-3)+3(-x3)+2x3+x4=5 Longrightarrow -4x4+6-3x3+2x3+x4=5
Isso simplifica para
-3x4+6 -x3=5 Longrightarrow -x3-3x4=-1 Longrightarrow x3+3x4=1

Passo 4

Observe que esse resultado
x3+3x4=1
é exatamente a terceira equação original. Logo, a quarta equação não introduziu nenhuma contradição nem informação nova, apenas repete a terceira. Não apareceu nenhuma linha do tipo 0= b com bneq0.

Resposta

O sistema é consistente (tem soluções).

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