Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação linear de 2ª ordem não-homogênea
. O conteúdo envolvido é a soma da solução complementar (resposta da homogênea) com uma solução particular, usando raízes do polinômio característico e o método dos coeficientes a determinar.
Passo 2
Para achar a solução complementar, resolvemos o polinômio característico da homogênea
. As raízes são
e
. Logo,
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
, escolhemos um ansatz polinomial de grau 1 multiplicado por
, e como
é raiz simples, multiplicamos por
. Assim:
Passo 4
Calculamos as derivadas usando regra do produto. Definindo
, temos
Passo 5
Passo 6
Substituindo no lado esquerdo
e agrupando fatores de
, obtemos
Passo 7
Essa expressão deve ser igual a
, ou seja, dentro de colchetes:
Passo 8
Comparando coeficientes de
e de termo constante,
Passo 9
Logo, a solução particular é
Resposta
A solução geral é