Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-2 y^prime-3 y=64 x e^-x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação linear de 2ª ordem não-homogênea y''-2y'-3y=64x e^-x. O conteúdo envolvido é a soma da solução complementar (resposta da homogênea) com uma solução particular, usando raízes do polinômio característico e o método dos coeficientes a determinar.

Passo 2

Para achar a solução complementar, resolvemos o polinômio característico da homogênea r^2-2r-3=0. As raízes são r=3 e r=-1. Logo,
yh(x)=C1e^3x+C2e^-x

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 64x e^-x, escolhemos um ansatz polinomial de grau 1 multiplicado por e^-x, e como -1 é raiz simples, multiplicamos por x. Assim:
yp(x)=(Ax^2+Bx)e^-x

Passo 4

Calculamos as derivadas usando regra do produto. Definindo u=Ax^2+Bx, temos
u'=2Ax+B, yp'=u'e^-x-u e^-x=l(-Ax^2+(2A-B)x+Br)e^-x,

Passo 5

yp''=ddxl((-Ax^2+(2A-B)x+B)e^-xr)=l(Ax^2-(4A-B)x+(2A-2B)r)e^-x

Passo 6

Substituindo no lado esquerdo yp''-2yp'-3yp e agrupando fatores de e^-x, obtemos
yp''-2yp'-3yp=e^-xl[-8A,x+(2A-4B)r]

Passo 7

Essa expressão deve ser igual a 64x e^-x, ou seja, dentro de colchetes:
-8A,x+(2A-4B)=64x+0

Passo 8

Comparando coeficientes de x e de termo constante,
-8A=64implies A=-8, 2A-4B=0implies -16-4B=0implies B=-4

Passo 9

Logo, a solução particular é
yp(x)=(-8x^2-4x)e^-x

Resposta

A solução geral é
y(x)=C1e^3x+C2e^-x-igl(8x^2+4xr)e^-x 

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