Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
Enunciado: Precisamos resolver a equação linear de 2ª ordem não-homogênea
. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termo não-homogêneo; vamos usar solução homogênea + solução particular.
Passo 2
Começamos pela homogênea:
. A equação característica é
, cujas raízes são
. Assim, a solução geral homogênea é
.
Passo 3
Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é
e
já aparece em
(ressonância), fazemos o palpite de coeficientes a determinar:
Calculamos
e
e substituímos em
. Após substituição e simplificação, chega-se a:
Comparando coeficientes:
e
, de onde
e
.
Passo 4
Substituindo
e
em
obtemos
. Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de
e
.