Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+y=2 cos x

Passo 1

Enunciado: Precisamos resolver a equação linear de 2ª ordem não-homogênea y'' + y = 2 cos x. O conteúdo da matéria é equações diferenciais lineares de segunda ordem com termo não-homogêneo; vamos usar solução homogênea + solução particular.

Passo 2

Começamos pela homogênea: y'' + y = 0. A equação característica é r^2 + 1 = 0, cujas raízes são r=pm i. Assim, a solução geral homogênea é yh = C1 cos x + C2 sin x.

Passo 3

Para a solução particular, como o termo não-homogêneo é 2cos x e cos x já aparece em yh (ressonância), fazemos o palpite de coeficientes a determinar: yp = xl(Ccos x + Dsin xr) Calculamos yp' e yp'' e substituímos em y''+y=2cos x. Após substituição e simplificação, chega-se a: yp''+yp = -2Csin x + 2Dcos x = 2cos x Comparando coeficientes: 2D=2 e -2C=0, de onde D=1 e C=0.

Passo 4

Substituindo C e D em yp obtemos yp = xsin x. Portanto, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh e yp.

Resposta

y = C1cos x + C2sin x + xsin x

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