Seja f contínua em [a, b] e tal que seu gráfico esteja situado acima da reta y=c. Determine uma expressão para o volume V do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=c da região entre o gráfico de f e a reta y=c com a <= x <= b.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=c, da região limitada pelo gráfico de f (contínua em [a,b]) e a reta y=c. O assunto aqui é Cálculo de Volume por Sólidos de Revolução, usando o método dos discos (ou anéis).

Passo 2

Para cada x em [a,b], a seção transversal do sólido perpendicular ao eixo x é um disco de raio igual à distância vertical entre f(x) e c, ou seja, raio r(x)=f(x)−c. A área desse disco vale A(x)=π·(r(x))2=π·(f(x)−c)2. Para obter o volume, integramos essas áreas ao longo de x de a até b, resultando em:

Passo 3

V=integrala^b A(x),dx=integrala^b pi,(f(x)-c)^2,dx

Resposta

V=piintegrala^b (f(x)-c)^2,dx

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