Toda função
tem um domínio de definição. Descreva, em palavras, o domínio da função
definida por uma serñ de potências centrada em
.
Passo 1
O enunciado pede para descrever em palavras o domínio de uma função f definida por uma série de potências centrada em z₀; o conteúdo é análise complexa (séries de potências) e vamos precisar do conceito de raio de convergência.
Passo 2
Para uma série de potências
o raio de convergência R é dado pela fórmula de Cauchy–Hadamard:
Esse valor R diz até onde a série converge.
Passo 3
O domínio de definição de f é então o conjunto de todos os z no plano complexo tais que a série converge absolutamente. Em termos geométricos, isso corresponde ao disco centrado em z₀ com raio R.
Passo 4
Em palavras, o domínio é o maior disco aberto em torno de z₀ no qual a série converge; pontos da fronteira |z–z₀|=R podem ou não pertencer ao domínio, dependendo de convergência adicional.
Passo 5
Portanto, o domínio de f é o disco aberto
o qual chamamos de disco de convergência da série.
Resposta
O domínio de f é o disco aberto centrado em z₀ de raio R (o raio de convergência), ou seja, todos os z tais que |z–z₀|<R.