Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+2 y^prime+2 y=e^-x sen x

Passo 1

Temos a equação não‐homogênea de segunda ordem
y'' + 2y' + 2y = e^-xsin x
O conteúdo é Equações Lineares de 2ª ordem não‐homogêneas e vamos precisar encontrar a solução geral composta pela solução da homogênea e por uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica
r^2 + 2r + 2 = 0
Resolvendo:
r = -2 pm raiz4 - 82 = -1 pm i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = e^-xl(C1 cos x + C2 sin xr)

Passo 3

Para a solução particular, notamos que o termo forçante é e^-xsin x, que coincide com a forma da homogênea. Isso gera ressonância, então multiplicamos a ansatz usual por x. Assim, supomos
yp(x) = x e^-xl(a cos x + b sin xr)

Passo 4

Aplicando o operador L[y]=y''+2y'+2y sobre yp (após cálculo das derivadas), encontra‐se
L[yp] = 2 e^-xl(-a sin x + b cos xr)
Queremos isso igual a e^-xsin x, então
2l(-a sin x + b cos xr) = sin x

Passo 5

Igualando coeficientes de sin x e cos x:
  • Para sin x: -2a = 1 a = -tfrac12.
  • Para cos x: 2b = 0 b = 0.
    Logo
yp(x) = -tfrac12,x e^-xcos x

Passo 6

A solução geral é a soma de yh com yp:
y(x) = e^-xl(C1 cos x + C2 sin xr) - tfrac12,x e^-xcos x

Resposta

y(x)=e^-x(C1cos x+C2sin x)-tfrac12,x e^-xcos x

Exercícios relacionados