Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
Temos a equação não‐homogênea de segunda ordem
O conteúdo é Equações Lineares de 2ª ordem não‐homogêneas e vamos precisar encontrar a solução geral composta pela solução da homogênea e por uma solução particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
Resolvendo:
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a solução particular, notamos que o termo forçante é
, que coincide com a forma da homogênea. Isso gera ressonância, então multiplicamos a ansatz usual por
. Assim, supomos
Passo 4
Aplicando o operador
sobre
(após cálculo das derivadas), encontra‐se
Queremos isso igual a
, então
Passo 5
Igualando coeficientes de
e
:
- Para
: ⇒ . - Para
: ⇒ .
Logo
Passo 6
A solução geral é a soma de
com
: