Usando o resultado 7 , determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=-1 da região entre o gráfico de y=raizx+1 e a reta y=-1 com 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar, em torno da reta y=-1, a região limitada por y=raizx+1 e y=-1 para 0<= x<=1. O conteúdo aqui é cálculo de volume de revolução usando o método de discos (ou anéis), e vamos precisar da fórmula:
V=piintegrala^bl[R(x)^2 - r(x)^2r],dx
onde R(x) é o raio externo e r(x) o raio interno em função de x.

Passo 2

Primeiro identificamos os raios:
Como a reta de giro é y=-1, a distância do gráfico y=raizx+1 até y=-1 é o raio externo
R(x)=lraizx+1 - (-1)r=raizx+1+1
E a reta y=-1 gira na própria reta de eixo, então o raio interno é
r(x)=0

Passo 3

Com isso, o volume fica:
V=piintegral0^1l(raizx+1+1r)^2,dx

Passo 4

Expandindo o quadrado dentro do integrando:
(raizx+1+1)^2=(x+1)+2raizx+1+1 = x+2+2raizx+1
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V=piintegral0^1l(x+2+2(x+1)^1/2r),dx

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
integral0^1x,dx=tfrac12, integral0^12,dx=2, integral0^12(x+1)^1/2,dx =2integral1^2u^1/2,du (u=x+1) =2cdottfrac23l(2^3/2-1r)=tfrac43(2raiz2-1)
Somando as parcelas:
tfrac12 + 2 + tfrac43(2raiz2-1)=7+16raiz26

Passo 6

Multiplicando por pi, o volume final é
$$V=\frac{\pi,(7+16\sqrt2)}{6}.
$$

Resposta

V=dfracpi,(7+16raiz2)6

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