Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+10 y^prime+25 y=14 e^-5 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Temos
y''+10y'+25y=14e^-5x
Isso cai na categoria de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método clássico: primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea:
y''+10y'+25y=0
Formamos a equação característica r^2+10r+25=0. Resolvendo:
r^2+10r+25=(r+5)^2=0
Temos raiz dupla r=-5. Logo, a solução geral da homogênea é
yh(x)=e^-5x(C1+C2x)

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é 14e^-5x e e^-5x já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, nosso chute para a solução particular deve ser multiplicado por x^2. Ou seja, supondo
yp(x)=A x^2 e^-5x,
onde A é a constante a determinar.

Passo 4

Agora calculamos yp' e yp'' para substituir na equação original. Primeiro:
yp(x)=A x^2 e^-5x,
yp'(x)=e^-5x(2Ax-5Ax^2),
yp''(x)=e^-5x(25Ax^2-20Ax+2A)
Substituindo em y''+10y'+25y:
yp''+10yp'+25yp=e^-5xl(25Ax^2-20Ax+2Ar) +10e^-5x(2Ax-5Ax^2)+25e^-5x(Ax^2)
Agrupando termos:
e^-5xl((25A-50A+25A)x^2+(-20A+20A)x+2Ar)=e^-5x(2A)
Isso deve ser igual a 14e^-5x, então
$$2A=14
$$
Logo 2A=14 .

Passo 5

Reunindo tudo, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de yh e yp:
y(x)=e^-5x(C1+C2x)+7x^2e^-5x

Resposta

y(x)=e{-5x}(C_{1}+C_{2}x)+7x{2}e^{-5x}

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