Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não-homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes:
Temos
Isso cai na categoria de equações lineares de segunda ordem. Para resolver, vamos usar o método clássico: primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois uma solução particular usando o método dos coeficientes indeterminados.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea:
Formamos a equação característica
. Resolvendo:
Temos raiz dupla
. Logo, a solução geral da homogênea é
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
e
já aparece na solução homogênea com multiplicidade 2, nosso chute para a solução particular deve ser multiplicado por
. Ou seja, supondo
onde
é a constante a determinar.
Passo 4
Agora calculamos
e
para substituir na equação original. Primeiro:
Substituindo em
:
Agrupando termos:
Isso deve ser igual a
, então
$$2A=14
$$
Logo
.
Passo 5
Reunindo tudo, a solução geral da equação não-homogênea é a soma de
e
:
Resposta
y(x)=e{-5x}(C_{1}+C_{2}x)+7x{2}e^{-5x}