Suponha que uma função complexa f seja analítica em um domínio D que contém z0=0 e que f satisfaz f^prime l=2= 4 z+f^2(z). Suponha, ainda, que f(0)=1.
(a) Calcule f^prime(0), f^prime prime(0), f^prime prime prime(0), f^(4)(0) e f^(5)(0).
(b) Determine os primeiros seis termos da expansão de f em série de Maclaurin.

Passo 1

Temos uma função analítica em um domínio que contém zero satisfazendo a equação diferencial f'(z)=4z+f(z)^2 e a condição inicial f(0)=1. O objetivo é obter as derivadas f^(n)(0) de n=1 até 5 e os primeiros seis termos da série de Maclaurin de f.

Passo 2

Para resolver, consideramos a expansão em série de potências centrada em zero:
f(z)=sumn=0^inftyan z^n,
com a0=f(0)=1. A derivada fica
f'(z)=sumn=0^infty(n+1)an+1z^n
e o quadrado de f é
f(z)^2=summ=0^inftyl(sumk=0^mak am-kr)z^m

Passo 3

Igualando coeficientes de z^m em f'(z)=4z+f(z)^2 obtemos a relação de recorrência
(m+1)am+1=sumk=0^mak am-k+4,de
onde de vale 1 se m=1 e 0 caso contrário. Para m=0 e m=1 calculamos:
  • m=0: 1cdot a1=a0^2=1 Rightarrow a1=1
  • m=1: 2,a2=a0a1+a1a0+4=6 Rightarrow a2=3

Passo 4

Para m=2,3,4 seguimos a mesma fórmula:
  • m=2: 3,a3=a0a2+a1a1+a2a0=7 Rightarrow a3=7/3
  • m=3: 4,a4=a0a3+a1a2+a2a1+a3a0=32/3 Rightarrow a4=8/3
  • m=4: 5,a5=a0a4+a1a3+a2a2+a3a1+a4a0=19 Rightarrow a5=19/5

Passo 5

As derivadas em zero são dadas por f^(n)(0)=n!,an. Logo:
  • f'(0)=1!,a1=1
  • f''(0)=2!,a2=2cdot3=6
  • f'''(0)=3!,a3=6cdottfrac73=14
  • f^(4)(0)=4!,a4=24cdottfrac83=64
  • f^(5)(0)=5!,a5=120cdottfrac195=456

Passo 6

Finalmente, os primeiros seis termos da série de Maclaurin são:
f(z)=a0+a1z+a2z^2+a3z^3+a4z^4+a5z^5+cdots=1+z+3z^2+tfrac73z^3+tfrac83z^4+tfrac195z^5+O(z^6)

Resposta

As derivadas em zero são:
f’(0)=1, f’’(0)=6, f’’’(0)=14, f^{(4)}(0)=64, f^{(5)}(0)=456.
A série de Maclaurin de f até z^5 é:
f(z)=1+z+3z^2+73z^3+83z^4+195z^5+O(z^6)

Exercícios relacionados