Suponha que uma função complexa
seja analítica em um domínio
que contém
e que
satisfaz
. Suponha, ainda, que
.
(a) Calcule
e
.
(b) Determine os primeiros seis termos da expansão de
em série de Maclaurin.
(a) Calcule
(b) Determine os primeiros seis termos da expansão de
Passo 1
Temos uma função analítica em um domínio que contém zero satisfazendo a equação diferencial
e a condição inicial
. O objetivo é obter as derivadas
de n=1 até 5 e os primeiros seis termos da série de Maclaurin de f.
Passo 2
Para resolver, consideramos a expansão em série de potências centrada em zero:
com
. A derivada fica
e o quadrado de f é
Passo 3
Igualando coeficientes de
em
obtemos a relação de recorrência
onde
vale 1 se
e 0 caso contrário. Para
e
calculamos:
Passo 4
Para
seguimos a mesma fórmula:
Passo 5
As derivadas em zero são dadas por
. Logo:
Passo 6
Finalmente, os primeiros seis termos da série de Maclaurin são:
Resposta
As derivadas em zero são:
f’(0)=1, f’’(0)=6, f’’’(0)=14, f^{(4)}(0)=64, f^{(5)}(0)=456.
f’(0)=1, f’’(0)=6, f’’’(0)=14, f^{(4)}(0)=64, f^{(5)}(0)=456.
A série de Maclaurin de f até z^5 é: