Usando o resultado obtido em 13 , determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x=-1 da região entre o gráfico de y=x^4 e o eixo x com 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por y=x^4, o eixo x e as retas x=0 e x=1 em torno da reta x=-1. O conteúdo aqui é cálculo de volume por rotação de uma região plana, e vamos usar o método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, dividimos a região em fatias verticais de espessura dx. Cada casca, ao girar em torno de x=-1, gera um cilindro de raio igual à distância r entre o ponto x e a reta de rotação, e altura h igual ao valor de y. Aqui temos:
r(x)=x-(-1)=x+1,
h(x)=y=x^4

Passo 3

Logo o volume de cada casca é dV=2pi,r(x),h(x),dx. O volume total é
V=2piintegral0^1(x+1)x^4,dx=2piintegral0^1(x^5+x^4),dx

Passo 4

Agora basta calcular a integral:
integral0^1(x^5+x^4),dx=[x^66+x^55]0^1=16+15=1130

Passo 5

Multiplicando por 2pi, obtemos o volume final.

Resposta

11pi15

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