Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=1 da região entre o gráfico de y=sin x e o eixo x com 0 <= x <= pi.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação, em torno da reta y=1, da região limitada por y=sin x e o eixo x, para 0<= x<= pi. O conteúdo é o método dos discos anelares, e vamos precisar das fórmulas de volume por integração usando raios externo e interno.

Passo 2

Como a rotação é em torno de y=1, cada fatia vertical em x gera um anel com: raio externo igual à distância de y=1 até o eixo x (ou seja, até y=0), e raio interno igual à distância de y=1 até a curva y=sin x. Assim,
R(x)=1-0=1,
r(x)=1-sin x

Passo 3

O volume é dado por
V=piintegral0^pil[R(x)^2 - r(x)^2r],dx

Passo 4

Substituindo os raios:
R(x)^2 - r(x)^2 = 1^2 - (1-sin x)^2 = 1 - l(1 -2sin x +sin^2 xr) = 2sin x - sin^2 x

Passo 5

Logo
V=piintegral0^pil(2sin x - sin^2 xr),dx

Passo 6

Agora calculamos separadamente:
integral0^pi2sin x,dx = 2l[-cos xr]0^pi = 2l(-(-1) - (-1)r)=4,
integral0^pisin^2 x,dx = integral0^pi1-cos2x2,dx = 12l[x - sin2x2r]0^pi = 12l(pi -0r)=pi2

Passo 7

Substituindo no volume:
V=pil(4 - tfracpi2r)=4pi - pi^22

Resposta

4pi - tfracpi^22

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