Suponha f e g são funções contínuas em [a, b], e seja c tal que se tem c <= g(x) <= f(x) com a <= x <= b. Determine uma expressão para o volume V do sólido obtido pela rotação em torno da reta y=c da região entre os gráficos de f e g com a <= x <= b.

Passo 1

A questão pede o volume do sólido gerado pela rotação da região entre os gráficos de duas funções contínuas f e g em torno da reta y=c. O conteúdo principal é o método dos discos (ou arruelas), que usa integrais definidas para somar volumes infinitesimais.

Passo 2

Para aplicar o método dos discos, identificamos em cada fatia vertical (para cada xin[a,b]) um raio externo R(x) e um raio interno r(x) em relação ao eixo y=c. Como c<= g(x)<= f(x), temos:
R(x)=f(x)-c
r(x)=g(x)-c

Passo 3

Cada fatia de espessura dx gera um volume elementar dado pela diferença entre o volume do disco de raio R(x) e o disco furado de raio r(x):
dV=pil(R(x)^2 - r(x)^2r),dx

Passo 4

Por fim, somamos (integramos) essas fatias de x=a até x=b para obter o volume total.

Resposta

V=piintegrala^bl[l(f(x)-cr)^2 - l(g(x)-cr)^2r],dx

Exercícios relacionados