Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-4 y=x^2 e^2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não-homogênea y'' - 4y = x^2 e^2x. O conteúdo envolve EDO linear com coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar: vamos achar a solução da homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Para a parte homogênea resolvemos a equação característica r^2 - 4 = 0, cujas raízes são r = 2 e r = -2. Logo a solução complementar é yc = C1 e^2x + C2 e^-2x.

Passo 3

Como o termo não-homogêneo é x^2 e^2x e e^2x já é solução da homogênea (raiz simples r=2), multiplicamos a tentativa por x. Propomos yp = (Ax^3 + Bx^2 + Cx)e^2x.

Passo 4

Definindo u(x)=Ax^3+Bx^2+Cx, calculamos u' = 3Ax^2 + 2Bx + C e u'' = 6Ax + 2B. Usando a regra do produto obtemos
yp'' -4yp = (u'' + 4u')e^2x

Passo 5

Igualando (u'' + 4u')e^2x = x^2 e^2x vem
u'' + 4u' = x^2 iff 12Ax^2 + (8B + 6A)x + (4C + 2B) = x^2
Comparando coeficientes resulta
12A = 1, 8B + 6A = 0, 4C + 2B = 0,
o que dá A = 112, B = -116 e C = 132.

Passo 6

Substituindo esses valores em yp achamos
$$y_p = \Bigl(\tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^2}{16} + \tfrac{x}{32}\Bigr)e^{2x}.
$$
Portanto a solução geral é a soma de yp = l(tfracx^312 - tfracx^216 + tfracx32r)e^2x e yc.

Resposta

y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \Bigl(\tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^2}{16} + \tfrac{x}{32}\Bigr)e^{2x}

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