Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo envolve EDO linear com coeficientes constantes e método dos coeficientes a determinar: vamos achar a solução da homogênea e depois uma particular.
Passo 2
Para a parte homogênea resolvemos a equação característica
, cujas raízes são
e
. Logo a solução complementar é
.
Passo 3
Como o termo não-homogêneo é
e
já é solução da homogênea (raiz simples
), multiplicamos a tentativa por
. Propomos
.
Passo 4
Definindo
, calculamos
e
. Usando a regra do produto obtemos
Passo 5
Igualando
vem
Comparando coeficientes resulta
o que dá
,
e
.
Passo 6
Substituindo esses valores em
achamos
$$y_p = \Bigl(\tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^2}{16} + \tfrac{x}{32}\Bigr)e^{2x}.
$$
Portanto a solução geral é a soma de e
.
Portanto a solução geral é a soma de
Resposta
y(x) = C_1 e^{2x} + C_2 e^{-2x} + \Bigl(\tfrac{x^3}{12} - \tfrac{x^2}{16} + \tfrac{x}{32}\Bigr)e^{2x}