Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta
da região entre o gráfico de
e o eixo
com
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta
da região sob o gráfico de
para
. O conteúdo principal é cálculo de volume por cascas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula de dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.
Passo 2
Usando o método das cascas cilíndricas, em cada fatia vertical em x: o raio da casca é a distância até a reta de rotação, isto é
; a altura da casca é
; e a espessura é dx. Assim
Passo 3
Para calcular essa integral, fazemos a substituição
, logo
. Quando
,
; quando
,
. A integral vira
Passo 4
Agora integramos:
Passo 5
Fatorando
, obtemos