Determine o volume do sólido obtido pela rotação em torno da reta x=2 pi da região entre o gráfico de y=(2 pi-x)^3 / 2 e o eixo x com 0 <= x <= pi.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido gerado pela rotação em torno da reta x=2pi da região sob o gráfico de y=(2pi - x)^3/2 para 0<= x<= pi. O conteúdo principal é cálculo de volume por cascas cilíndricas, e vamos precisar usar a fórmula de dV = 2π·(raio)·(altura)·dx.

Passo 2

Usando o método das cascas cilíndricas, em cada fatia vertical em x: o raio da casca é a distância até a reta de rotação, isto é R(x)=2pi - x; a altura da casca é y=(2pi - x)^3/2; e a espessura é dx. Assim
V = integral0^pi 2pi,(2pi - x),(2pi - x)^3/2,dx = 2piintegral0^pi(2pi - x)^5/2,dx

Passo 3

Para calcular essa integral, fazemos a substituição u=2pi - x, logo du=-dx. Quando x=0, u=2pi; quando x=pi, u=pi. A integral vira
V = 2piintegralu=2pi^u=pi u^5/2(-du) = 2piintegralpi^2piu^5/2,du

Passo 4

Agora integramos:
V = 2pi[u^7/27/2]u=pi^u=2pi = 2picdot27l((2pi)^7/2-pi^7/2r)

Passo 5

Fatorando (2pi)^7/2=2^7/2pi^7/2=8raiz2,pi^7/2, obtemos
V=4pi7l(8raiz2,pi^7/2-pi^7/2r)=47(8raiz2-1),pi^9/2

Resposta

V=47(8raiz2-1),pi^9/2.

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