Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+y^prime-2 y=8 sen x

Passo 1

O exercício pede para resolver a EDO de segunda ordem não-homogênea y'' + y' - 2y = 8sin x. O conteúdo aqui é equações lineares com coeficientes constantes e forçante senoidal, e vamos precisar: (a) achar a solução geral da equação homogênea associada e (b) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.

Passo 2

Para a parte homogênea, consideramos y'' + y' - 2y = 0. Montamos a equação característica:
r^2 + r - 2 = 0
Resolvendo, obtemos as raízes r = 1 e r = -2. Logo, a solução geral homogênea é
yh(x) = C1e^x + C2e^-2x

Passo 3

Para a parte particular, fazemos o palpite de que
yp(x) = Asin x + Bcos x
Calculamos as derivadas:
yp' = Acos x - Bsin x,
yp'' = -Asin x - Bcos x
Substituindo na equação original:
yp'' + yp' - 2yp = (-Asin x - Bcos x) + (Acos x - Bsin x) - 2(Asin x + Bcos x)
Agrupando sen e cos:
= [-(3A + B)]sin x + [A - 3B]cos x
Isso deve ser igual a 8sin x + 0cos x, gerando o sistema
-(3A + B) = 8,
A - 3B = 0

Passo 4

Resolvendo o sistema, de A - 3B = 0 vem A = 3B. Substituindo em -(3A + B) = 8:
-(3(3B) + B) = 8 implies -10B = 8 implies B = -45,
portanto A = -125. Logo a solução particular é
yp(x) = -125sin x - 45cos x

Passo 5

A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular. Assim,
y(x) = C1e^x + C2e^-2x - 125sin x - 45cos x

Resposta

y(x) = C_1e^x + C_2e^{-2x} - \frac{12}{5}\sin x - \frac{4}{5}\cos x

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