Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O exercício pede para resolver a EDO de segunda ordem não-homogênea
. O conteúdo aqui é equações lineares com coeficientes constantes e forçante senoidal, e vamos precisar: (a) achar a solução geral da equação homogênea associada e (b) encontrar uma solução particular por coeficientes indeterminados.
Passo 2
Para a parte homogênea, consideramos
. Montamos a equação característica:
Resolvendo, obtemos as raízes
e
. Logo, a solução geral homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, fazemos o palpite de que
Calculamos as derivadas:
Substituindo na equação original:
Agrupando sen e cos:
Isso deve ser igual a
, gerando o sistema
Passo 4
Resolvendo o sistema, de
vem
. Substituindo em
:
portanto
. Logo a solução particular é
Passo 5
A solução geral da EDO é a soma das partes homogênea e particular. Assim,
Resposta
y(x) = C_1e^x + C_2e^{-2x} - \frac{12}{5}\sin x - \frac{4}{5}\cos x