Sejam f e g contínuas em [a, b] com g(x) <= f(x) para a <= x <= b. Seja R a região entre os gráficos de f e g com a <= x <= b e assuma que c <= a. Determine uma fórmula para o volume V do sólido obtido pela rotação da região R em torno da reta x=c.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta x=c, com c<= a, a região R limitada pelos gráficos de y=f(x) e y=g(x) em [a,b]. O conteúdo principal é cálculo de volume por método das cascas cilíndricas.

Passo 2

No método das cascas cilíndricas, escolhemos um elemento vertical de espessura dx na abscissa x. Ao girar em torno de x=c, esse elemento gera uma casca de raio igual à distância de x até a reta de rotação.
O raio da casca é r(x)=x-c, pois c<= a<= x faz x-c>=0. A altura da casca é a diferença entre os valores de f e g em x, ou seja, h(x)=f(x)-g(x).

Passo 3

O volume diferencial de uma casca é dado por dV=2pi,r(x),h(x),dx. Substituindo, temos dV=2pi,(x-c),[f(x)-g(x)],dx.
Para obter o volume total, integramos dV de x=a até x=b:
V=2piintegrala^b (x-c),[f(x)-g(x)],dx

Resposta

V=2piintegrala^b (x-c),[f(x)-g(x)],dx

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