Sejam
e
contínuas em
com
para
. Seja
a região entre os gráficos de
e
com
e assuma que
. Determine uma fórmula para o volume
do sólido obtido pela rotação da região
em torno da reta
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno da reta
, com
, a região
limitada pelos gráficos de
e
em
. O conteúdo principal é cálculo de volume por método das cascas cilíndricas.
Passo 2
No método das cascas cilíndricas, escolhemos um elemento vertical de espessura
na abscissa
. Ao girar em torno de
, esse elemento gera uma casca de raio igual à distância de
até a reta de rotação.
O raio da casca é , pois
faz
. A altura da casca é a diferença entre os valores de
e
em
, ou seja,
.
O raio da casca é
Passo 3
O volume diferencial de uma casca é dado por
. Substituindo, temos
.
Para obter o volume total, integramos de
até
:
Para obter o volume total, integramos