Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-3 y^prime=x+cos x

Passo 1

A equação dada é y'' - 3y' = x + cos x. Isso é uma EDO linear de 2ª ordem não‐homogênea com coeficientes constantes. A estratégia é: 1) encontrar a solução complementar yc resolvendo a parte homogênea y'' - 3y' = 0; 2) achar uma solução particular yp tal que a soma yc + yp satisfaça a equação original.

Passo 2

Para a parte homogênea y'' - 3y' = 0, montamos a equação característica
r^2 - 3r = 0 que tem raízes r=0 e r=3. Logo a solução complementar é
yc = C1 e^0x + C2 e^3x = C1 + C2 e^3x

Passo 3

Agora vamos achar uma solução particular para o termo polinomial x. Como o lado direito tem um polinômio de grau 1 e a raiz r=0 já aparece na complementar, assumimos
yp1 = A x^2 + B x Calculamos derivadas:
yp1' = 2A x + B,
yp1'' = 2A Substituindo em y'' - 3y' = x (só pegamos a parte x):
yp1'' - 3yp1' = 2A - 3(2A x + B) = -6A x + (2A -3B)

Passo 4

Comparando com x, obtemos o sistema
-6A = 1, 2A - 3B = 0 que leva a A = -tfrac16 e B = -tfrac19. Portanto
yp1 = -16x^2 - 19x

Passo 5

Agora a parte harmônica cos x. Para y'' - 3y' = cos x tomamos o palpite
yp2 = Mcos x + Nsin x Derivadas:
yp2' = -Msin x + Ncos x,
yp2'' = -Mcos x - Nsin x Substituindo em y'' - 3y' = cos x:
yp2'' - 3yp2' = (-M -3N)cos x + (-N +3M)sin x = cos x

Passo 6

Igualando coeficientes vem
- M -3N = 1, -N +3M = 0 Resolvendo, obtemos M = -tfrac110 e N = -tfrac310. Logo
yp2 = -110cos x - 310sin x

Passo 7

A solução particular completa é yp = yp1 + yp2. Somando com yc a gente chega à solução geral.

Resposta

y(x) = C1 + C2 e^3x - tfrac16x^2 - tfrac19x - tfrac110cos x - tfrac310sin x.

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