(a) Suponha que o valor principal do logaritmo Ln z=log e|z|+i Arg(z) seja expandido em uma série de Taylor com centro em z0=-1+i. Explique por que R=1 é o raio do maior círculo centrado em z0=-1+i no interior do qual a funição considerada é analítica.
(b) Mostre que, no interior do círculo |z-(-1+i)|=1, a série de Taylor para esta função é
Ln z=12 log e 2+3 pi4 i-sumk=1^infty 1k(1+i2)^k(z+1-i)^k

Passo 1

O enunciado pede para expandir o logaritmo principal em série de Taylor em torno de Ln z = ln|z| + iArg(z), e (a) explicar por que o maior raio de convergência é z0 = -1 + i. O conteúdo aqui envolve análise complexa, ramo principal de , cortes de ramo e desenvolvimento em série de Taylor.

Passo 2

Para determinar o raio R de convergência de uma série de Taylor de uma função analítica em torno de z0, basta achar a distância do ponto z0 até o ponto singular ou corte de ramo mais próximo. No nosso caso, o logaritmo principal é analítico em Csetminus(-infty,0], ou seja, falha de ser analítico sobre o eixo real negativo (incluindo o zero).
O ponto de (-infty,0] mais próximo de z0=-1+i é -1+0i. A distância entre -1+i e -1 é
|(-1+i)-(-1)| = |i| = 1,
logo o maior disco centrado em z0 contido no domínio de analiticidade de tem raio Ln z.

Passo 3

Para construir a série, fazemos a mudança w = z - z0 = z + 1 - i. Então
Sabemos a expansão válida para Ln z = Ln(z0 + w) = Ln z0 + Lnl(1 + tfracwz0r):
Aqui |u|<1, com Ln(1+u) = sumk=1^infty (-1)^k+1u^kk. Primeiro calculamos
A seguir obtemos
u = w/z0
então
z0 = -1 + i
Substituindo na série de
Simplificando ((-1){k+1}(-1)k = -1),fica

Finalmente, voltando a Ln z0 = Ln(-1+i) = 12ln2 + iArg(-1+i) = 12ln2 + i3pi4, obtemos a expansão desejada.

Resposta

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