(a) Suponha que o valor principal do
seja expandido em uma série de Taylor com centro em
. Explique por que
é o raio do maior círculo centrado em
no interior do qual a funição considerada é analítica.
(b) Mostre que, no interior do círculo
, a série de Taylor para esta função é
(b) Mostre que, no interior do círculo
Passo 1
O enunciado pede para expandir o logaritmo principal em série de Taylor em torno de
, e (a) explicar por que o maior raio de convergência é
. O conteúdo aqui envolve análise complexa, ramo principal de , cortes de ramo e desenvolvimento em série de Taylor.
Passo 2
Para determinar o raio
de convergência de uma série de Taylor de uma função analítica em torno de
, basta achar a distância do ponto
até o ponto singular ou corte de ramo mais próximo. No nosso caso, o logaritmo principal é analítico em
, ou seja, falha de ser analítico sobre o eixo real negativo (incluindo o zero).
O ponto de mais próximo de
é
. A distância entre
e
é
O ponto de
logo o maior disco centrado em
contido no domínio de analiticidade de tem raio
.
Passo 3
Para construir a série, fazemos a mudança
. Então
Sabemos a expansão válida para
:
Aqui
, com
. Primeiro calculamos
A seguir obtemos
então
Substituindo na série de
Simplificando ((-1){k+1}(-1)k = -1),fica
Finalmente, voltando a , obtemos a expansão desejada.
Finalmente, voltando a