Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial não-homogênea de ordem três
que cai na matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar (1) resolver a parte homogênea via equação característica e (2) usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, a parte homogênea é
Formamos a equação característica
, cujas raízes são
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para a parte particular, como o lado direito é um polinômio de grau 3 e nenhum termo polinomial aparece na solução homogênea, fazemos o chute
Derivando:
Substituindo em
:
Igualando coeficientes de potências de
:
-
Para
: ⇒ . -
Para
: ⇒ . -
Para
: ⇒ . -
Para termo constante:
⇒ ⇒ .
Isso dá
Passo 4
Juntando as duas partes, a solução geral é a soma da homogênea com a particular: