Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime prime-y=x^3-1

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução geral da equação diferencial não-homogênea de ordem três
y''' - y = x^3 - 1,
que cai na matéria de equações diferenciais lineares com coeficientes constantes. Para isso, vamos precisar (1) resolver a parte homogênea via equação característica e (2) usar o método dos coeficientes indeterminados para achar uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, a parte homogênea é
yh''' - yh = 0
Formamos a equação característica r^3 - 1 = 0, cujas raízes são
r = 1, r = -tfrac12 pm tfracraiz32i
Logo a solução homogênea é
yh(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cos(tfracraiz32x) + C3sin(tfracraiz32x)r)

Passo 3

Para a parte particular, como o lado direito é um polinômio de grau 3 e nenhum termo polinomial aparece na solução homogênea, fazemos o chute
yp(x) = A x^3 + B x^2 + C x + D
Derivando:
yp' = 3A x^2 + 2B x + C,
yp'' = 6A x + 2B,
yp''' = 6A
Substituindo em y''' - y = x^3 - 1:
6A - (A x^3 + B x^2 + C x + D) = x^3 - 1
Igualando coeficientes de potências de x:
  • Para x^3: -A = 1 A = -1.
  • Para x^2: -B = 0 B = 0.
  • Para x^1: -C = 0 C = 0.
  • Para termo constante: 6A - D = -1 -6 - D = -1 D = -5.
Isso dá
yp(x) = -x^3 - 5

Passo 4

Juntando as duas partes, a solução geral é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cos(tfracraiz32x) + C3sin(tfracraiz32x)r) ;-; x^3 - 5

Resposta

y(x) = C1 e^x + e^-x/2l(C2cos!l(tfracraiz32xr) + C3sin!l(tfracraiz32xr)r) - x^3 - 5

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