Verifique se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.
Passo 1
Temos a série
. Note que ela é a soma de duas séries geométricas. Para resolver, usaremos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se
, então
.
Passo 2
Vamos separar a série em duas partes:
e
Passo 3
Para a primeira série, definimos
, assim
Aqui o primeiro termo é
e a razão é
. Como
, a soma vale
Passo 4
Para a segunda série, fazemos o mesmo passo de reindexação:
Aqui
e
. A soma interna é
e multiplicando por 2 obtemos
Passo 5
Como ambas as séries convergem (pois suas razões têm módulo menor que 1), a série original converge e sua soma é a soma das duas partes:
.
Resposta
A série converge e sua soma é 5.