Verifique se a série é convergente ou divergente. Se for convergente, calcule a sua soma.

Passo 1

Temos a série sumn=1^inftyl(12^n-1 + 23^n-1r). Note que ela é a soma de duas séries geométricas. Para resolver, usaremos a fórmula da soma de uma série geométrica infinita: se |r|<1, então sumk=0^inftya,r^k = a1-r.

Passo 2

Vamos separar a série em duas partes:
sumn=1^infty12^n-1
e
sumn=1^infty23^n-1

Passo 3

Para a primeira série, definimos k=n-1, assim
sumn=1^infty12^n-1 = sumk=0^inftyl(tfrac12r)^k
Aqui o primeiro termo é a=1 e a razão é r=tfrac12. Como |r|<1, a soma vale
11-tfrac12 = 2

Passo 4

Para a segunda série, fazemos o mesmo passo de reindexação:
sumn=1^infty23^n-1 = 2sumk=0^inftyl(tfrac13r)^k
Aqui a=1 e r=tfrac13. A soma interna é
11-tfrac13 = tfrac32,
e multiplicando por 2 obtemos
2cdot tfrac32 = 3

Passo 5

Como ambas as séries convergem (pois suas razões têm módulo menor que 1), a série original converge e sua soma é a soma das duas partes: 2 + 3 = 5.

Resposta

A série converge e sua soma é 5.

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