Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
. O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar da solução da homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.
Passo 2
Para a parte homogênea, montamos a equação característica
, cujas raízes são
. Logo, a solução homogênea é
$$y_h = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x}.
$$
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, propomos um particular da forma
$$y_p = e^x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
y_p’ = e^x\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr),
$$
Passo 4
Substituindo em
, obtemos
que deve ser igual a
. Assim, temos o sistema
Isso leva a
e
.
Passo 5
Com
e
, o particular é
. Finalmente, a solução geral é dada por