Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-2 y=2 e^x(cos x-sen x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO y'' - 2y = 2 e^x(cos x - sin x). O conteúdo é equações diferenciais lineares de segunda ordem com coeficientes constantes. Vamos precisar da solução da homogênea e do método dos coeficientes a determinar para a parte particular.

Passo 2

Para a parte homogênea, montamos a equação característica r^2 - 2 = 0, cujas raízes são r = pm raiz2. Logo, a solução homogênea é
$$y_h = C_1 e^{\sqrt{2}x} + C_2 e^{-\sqrt{2}x}.
$$

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 2e^x(cos x - sin x), propomos um particular da forma
$$y_p = e^x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
yp = e^xl(Acos x + Bsin xr)
y_p’ = e^x\bigl((A+B)\cos x + (B-A)\sin x\bigr),
$$
yp' = e^xl((A+B)cos x + (B-A)sin xr),

Passo 4

Substituindo em y'' - 2y, obtemos
yp'' - 2yp = e^xl((2B - 2A)cos x + (-2A - 2B)sin xr)
que deve ser igual a 2e^x(cos x - sin x). Assim, temos o sistema
2B - 2A = 2, -2A - 2B = -2
Isso leva a A = 0 e B = 1.

Passo 5

Com A=0 e B=1, o particular é yp = e^xsin x. Finalmente, a solução geral é dada por
y = yh + yp = C1 e^raiz2x + C2 e^-raiz2x + e^xsin x

Resposta

y(x) = C1 e^raiz2x + C2 e^-raiz2x + e^x sin x

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