Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+9 y=9 sec ^2(3 x)

Passo 1

A equação dada é y'' + 9y = 9sec^2(3x). O conteúdo aqui é EDO linear de segunda ordem não-homogênea. Para resolver, vamos precisar: 1) achar a solução geral da homogênea yh; 2) usar o método de variação de parâmetros para encontrar uma solução particular yp; 3) somar yh + yp.

Passo 2

A parte homogênea é y'' + 9y = 0. A equação característica é r^2 + 9 = 0, com raízes r = pm 3i. Logo, a solução homogênea é
yh = C1cos(3x) + C2sin(3x)

Passo 3

Para variação de parâmetros, escolhemos as soluções fundamentais y1=cos(3x) e y2=sin(3x). O Wronskiano é
W = cos(3x) & sin(3x) -3sin(3x) & 3cos(3x) = 3cos^2(3x) +3sin^2(3x) = 3

Passo 4

As fórmulas de variação de parâmetros dão as derivadas
u1' = -y2(x),g(x)W = -sin(3x)cdot 9sec^2(3x)3 = -3,sin(3x)cos^2(3x),
u2' = y1(x),g(x)W = cos(3x)cdot 9sec^2(3x)3 = 3,cos(3x)cos^2(3x) = 3sec(3x)

Passo 5

Agora integramos: primeiro
integral sin(3x)cos^2(3x),dx = integral tan(3x)sec(3x),dx

Passo 6

Fazendo a substituição u=sec(3x), temos du = 3sec(3x)tan(3x),dx, logo
integral tan(3x)sec(3x),dx = 13integral du = sec(3x)3

Passo 7

Assim
u1 = -3 cdot sec(3x)3 = -sec(3x)

Passo 8

O segundo integral é
u2 = 3integral sec(3x),dx

Passo 9

Sabemos que integral sec(3x),dx = 13lnl|sec(3x)+tan(3x)r|. Logo
u2 = 3 cdot 13lnl|sec(3x)+tan(3x)r| = lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

Passo 10

A solução particular será
yp = u1y1 + u2y2 = l(-sec(3x)r)cos(3x) + lnl|sec(3x)+tan(3x)r|sin(3x)

Passo 11

Note que sec(3x)cos(3x)=1, então
yp = -1 + sin(3x)lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

Passo 12

Finalmente, a solução geral é a soma de homogênea e particular.

Resposta

y(x) = C1cos(3x) + C2sin(3x) - 1 + sin(3x)lnl|sec(3x)+tan(3x)r|

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