Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
Nesta questão, temos uma equação diferencial linear de segunda ordem não-homogênea com coeficientes constantes:
y’’ - 3y’ - 4y = 4x²
O que precisamos é encontrar a solução geral y(x), que é a soma da solução da equação homogênea associada e de uma solução particular do caso não-homogêneo.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea. Escrevemos a equação característica associada:
r² - 3r - 4 = 0
Resolvendo-a, usamos a fórmula de Bhaskara ou fatoração:
(r - 4)(r + 1) = 0
Logo, os raízes são r₁ = 4 e r₂ = -1, e a solução homogênea é
yₕ(x) = C₁ e^{4x} + C₂ e^{-x}.
Passo 3
Para encontrar uma solução particular, observamos que o termo não-homogêneo 4x² é um polinômio de grau 2. Pelo método dos coeficientes a determinar, fazemos o ansatz
yₚ(x) = a x² + b x + c.
Calculamos suas derivadas:
yₚ’(x) = 2a x + b
yₚ’’(x) = 2a.
yₚ’’(x) = 2a.
Passo 4
Substituímos yₚ, yₚ’ e yₚ’’ na equação diferencial:
yₚ’’ - 3yₚ’ - 4yₚ = 2a - 3(2a x + b) - 4(a x² + b x + c).
Desenvolvendo e agrupando em potências de x, obtemos:
= -4a x² + (-6a - 4b)x + (2a - 3b - 4c).
Passo 5
Agora igualamos cada coeficiente ao correspondente lado direito 4x² + 0x + 0, gerando o sistema:
-4a = 4
-6a - 4b = 0
2a - 3b - 4c = 0.
-6a - 4b = 0
2a - 3b - 4c = 0.
Resolvendo, achamos:
a = -1,
b = 3/2,
c = -13/8.
b = 3/2,
c = -13/8.
Portanto,
yₚ(x) = -x² + \tfrac{3}{2}x - \tfrac{13}{8}.
Passo 6
A solução geral é a soma da parte homogênea com a particular, ou seja:
y(x) = C₁ e^{4x} + C₂ e^{-x} - x² + \tfrac{3}{2}x - \tfrac{13}{8}.
Resposta
y(x)=C_{1}e{4x}+C_{2}e{-x}-x^{2}+\tfrac{3}{2}x-\tfrac{13}{8}