Séries Alternadas. Uma série alternada é uma série que tem uma das seguintes formas:
ou
, onde
.
Teste a série para convergência ou divergência.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
Teste a série para convergência ou divergência.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
m.
n.
o.
p.
q.
r.
Passo 1
Temos 18 séries alternadas (itens a a r) e vamos usar três testes principais: o teste da condição necessária
, o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta (
).
Passo 2
O teste da condição necessária diz que se
a série diverge. O critério de Leibniz afirma que se
,
decrescente e
, então
converge. Para convergência absoluta verificamos se
converge por comparação, integral ou razão.
Passo 3
Calculando
em cada caso, vemos que nas séries a, f, i, l, q e r o termo geral não tende a zero, portanto elas divergem pelo teste da condição necessária.
Passo 4
Nas demais (b, c, d, e, g, h, j, k, m, n, o, p) temos
,
decrescente e
, logo convergem por Leibniz. Destacas-se que
converge apenas nos itens h, k e o (convergência absoluta) e diverge nos demais (convergência condicional).
Resposta
a) diverge; b) converge condicionalmente; c) converge condicionalmente; d) converge condicionalmente; e) converge condicionalmente; f) diverge; g) converge condicionalmente; h) converge absolutamente; i) diverge; j) converge condicionalmente; k) converge absolutamente; l) diverge; m) converge condicionalmente; n) converge condicionalmente; o) converge absolutamente; p) converge condicionalmente; q) diverge; r) diverge