Séries Alternadas. Uma série alternada é uma série que tem uma das seguintes formas:
sumn=1^infty(-1)^n+1 an=a1-a2+a3-a4+cdots ou sumn=1^infty(-1)^n an=-a1+a2-a3+a4-cdots, onde an>0.
Teste a série para convergência ou divergência.
a. -13+24-35+46-57+cdots
b. 47-48+49-410+411-cdots
c. 1ln 2-1ln 3+1ln 4-cdots
d. sumn=1^infty (-1)^n-1raizn
e. sumn=1^infty (-1)^n-13 n-1
f. sumn=1^infty(-1)^n 2 n4 n+1
g. sumn=1^infty(-1)^n 2 n4 n^2+1
h. sumn=1^infty (-1)^n+14 n^2+1
i. sumn=1^infty(-1)^n-1 2 n^24 n^2+1
j. sumn=0^infty(-1)^n-1 raiznn+4
k. sumn=1^infty(-1)^n+1 n2^n
l. sumn=2^infty(-1)^n nln n
m. sumn=1^infty(-1)^n-1 ln nn
n. sumn=1^infty cos (n pi)n^34
o. sumn=1^infty sen(n pi / 2)n!
p. sumn=2^infty (-1)^n-1raiz[3]ln n
q. sumn=1^infty(-1)^n cos (pin)
r. sumn=1^infty(-1)^n n^nn!

Passo 1

Temos 18 séries alternadas (itens a a r) e vamos usar três testes principais: o teste da condição necessária limntoinftyan=0, o critério de Leibniz para séries alternadas e o teste de convergência absoluta ( sum|an|).

Passo 2

O teste da condição necessária diz que se limntoinftyanneq0 a série diverge. O critério de Leibniz afirma que se an>0, an decrescente e lim an=0, então sum(-1)^n an converge. Para convergência absoluta verificamos se sum|an| converge por comparação, integral ou razão.

Passo 3

Calculando limntoinftyan em cada caso, vemos que nas séries a, f, i, l, q e r o termo geral não tende a zero, portanto elas divergem pelo teste da condição necessária.

Passo 4

Nas demais (b, c, d, e, g, h, j, k, m, n, o, p) temos an>0, an decrescente e lim an=0, logo convergem por Leibniz. Destacas-se que sum|an| converge apenas nos itens h, k e o (convergência absoluta) e diverge nos demais (convergência condicional).

Resposta

a) diverge; b) converge condicionalmente; c) converge condicionalmente; d) converge condicionalmente; e) converge condicionalmente; f) diverge; g) converge condicionalmente; h) converge absolutamente; i) diverge; j) converge condicionalmente; k) converge absolutamente; l) diverge; m) converge condicionalmente; n) converge condicionalmente; o) converge absolutamente; p) converge condicionalmente; q) diverge; r) diverge

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