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  1. (a) Você se deparará com a seguinte função real na maioria de antigos livros de cálculo:
f(x)= e^-1 / x^2, & x neq 0 0, & x=0
Consulte tais livros de cálculo a respeito desta função e mostre que f é infinitamente diferenciável em todo valor de x. Mostre, ainda, que f não pode ser representada por uma série de Maclaurin em qualquer valor de x neq 0.
(b) Investigue se o análogo complexo da função real na parte (a),
f(z)= e^-1 / z^2, & z neq 0 0, & z=0
é infinitamente diferenciável em z=0.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função
f(x)=e^-1/x^2,&xneq0,0,&x=0
é infinitamente diferenciável em todo x∈ℝ, mas que sua série de Maclaurin não representa f(x) para nenhum x≠0, e depois investigar se o análogo complexo
f(z)=e^-1/z^2,&zneq0,0,&z=0
é diferenciável em z=0.

Passo 2

Para x≠0, f é composição de operações infinitamente diferenciáveis (potência, inverso e exponenciação), logo f∈C^∞(ℝ{0}).

Passo 3

Para x=0, usamos definição de derivada:
f'(0)=limhto0f(h)-f(0)h=limhto0e^-1/h^2h=0,
e por indução mostra-se que
f^(n)(0)=0forall n>=1
A ideia é notar que para x≠0 existe polinômio P_n tal que
f^(n)(x)=Pn(1/x)e^-1/x^2,
e portanto ao levar x→0 tudo tende a zero.

Passo 4

A série de Maclaurin fica
sumn=0^inftyf^(n)(0)n!x^n=sumn=0^infty0cdot x^n=0
Mas para x≠0 temos f(x)=e{-1/x2}>0, logo a série não representa f em nenhum ponto x≠0.

Passo 5

Para o caso complexo, investigamos continuidade em z=0. Se z→0 ao longo do eixo real, f(z)→0; mas se z=it (t real) temos
f(it)=e^1/t^2to+infty(tto0),
então f não é contínua em 0, logo nem diferenciável em sentido complexo.

Passo 6

A conclusão é que no caso real f é C^∞ mas não analítica (sua série de Maclaurin é nula e falha para x≠0), e no caso complexo f não é sequer diferenciável em z=0.

Resposta

(a) f∈C^∞(ℝ), f^{(n)}(0)=0 ∀n, sua série de Maclaurin é identicamente zero e não coincide com f(x) para x≠0.
(b) o análogo complexo não é contínuo em z=0, nem diferenciável ali.

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