Projetos
- (a) Você se deparará com a seguinte função real na maioria de antigos livros de cálculo:
Consulte tais livros de cálculo a respeito desta função e mostre que
é infinitamente diferenciável em todo valor de
. Mostre, ainda, que
não pode ser representada por uma série de Maclaurin em qualquer valor de
.
(b) Investigue se o análogo complexo da função real na parte (a),
é infinitamente diferenciável em
.
(b) Investigue se o análogo complexo da função real na parte (a),
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a função
é infinitamente diferenciável em todo x∈ℝ, mas que sua série de Maclaurin não representa f(x) para nenhum x≠0, e depois investigar se o análogo complexo
é diferenciável em z=0.
Passo 2
Para x≠0, f é composição de operações infinitamente diferenciáveis (potência, inverso e exponenciação), logo f∈C^∞(ℝ{0}).
Passo 3
Para x=0, usamos definição de derivada:
e por indução mostra-se que
A ideia é notar que para x≠0 existe polinômio P_n tal que
e portanto ao levar x→0 tudo tende a zero.
Passo 4
A série de Maclaurin fica
Mas para x≠0 temos f(x)=e{-1/x2}>0, logo a série não representa f em nenhum ponto x≠0.
Passo 5
Para o caso complexo, investigamos continuidade em z=0. Se z→0 ao longo do eixo real, f(z)→0; mas se z=it (t real) temos
então f não é contínua em 0, logo nem diferenciável em sentido complexo.
Passo 6
A conclusão é que no caso real f é C^∞ mas não analítica (sua série de Maclaurin é nula e falha para x≠0), e no caso complexo f não é sequer diferenciável em z=0.
Resposta
(a) f∈C^∞(ℝ), f^{(n)}(0)=0 ∀n, sua série de Maclaurin é identicamente zero e não coincide com f(x) para x≠0.
(b) o análogo complexo não é contínuo em z=0, nem diferenciável ali.
(b) o análogo complexo não é contínuo em z=0, nem diferenciável ali.