Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime+y=tg x

Passo 1

Neste exercício temos a equação linear de segunda ordem não homogênea y'' + y = tan x. O conteúdo envolvido é EDO linear com coeficientes constantes; para resolver precisamos primeiro a solução da parte homogênea e depois uma solução particular (usando variação de parâmetros).

Passo 2

Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada y'' + y = 0. A equação característica é r^2 +1=0 com raízes r = pm i. Logo a solução homogênea é yh(x) = C1 cos x + C2 sin x.

Passo 3

Para construir uma solução particular usamos o método de variação de parâmetros. As soluções fundamentais da homogênea são y1(x)=cos x e y2(x)=sin x, e a fórmula do método diz:
yp = -y1(x) integral y2(x),tan xW(x),dx + y2(x) integral y1(x),tan xW(x),dx,
onde W(x) é o wronskiano de y1,y2.

Passo 4

Calculamos o wronskiano das soluções fundamentais:
W(cos x,sin x)=cos xcdot(cos x)-(-sin x)cdot(sin x)=cos^2 x+sin^2 x=1

Passo 5

Precisamos então calcular os integrais
I1=integral sin x,tan x,dx, I2=integral cos x,tan x,dx
Note que sin xtan x=sin^2 x/cos x=sec x-cos x e cos xtan x=sin x.

Passo 6

Calculamos os integrais:
I1=integral(sec x-cos x)dx=ln|sec x+tan x|-sin x,
I2=integralsin x,dx=-cos x

Passo 7

Substituindo em yp:
yp=-cos xl(I1r)+sin xl(I2r)=-cos x(ln|sec x+tan x|-sin x)+sin x(-cos x)=-cos xln|sec x+tan x|

Passo 8

Somando a parte homogênea e a particular, obtemos a solução geral da equação:
y(x)=C1cos x+C2sin x-cos xln|sec x+tan x|

Resposta

y(x)=C1cos x+C2sin x-cos xln|sec x+tan x|

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