Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
Neste exercício temos a equação linear de segunda ordem não homogênea
. O conteúdo envolvido é EDO linear com coeficientes constantes; para resolver precisamos primeiro a solução da parte homogênea e depois uma solução particular (usando variação de parâmetros).
Passo 2
Para encontrar a solução homogênea, resolvemos a equação característica associada
. A equação característica é
com raízes
. Logo a solução homogênea é
.
Passo 3
Para construir uma solução particular usamos o método de variação de parâmetros. As soluções fundamentais da homogênea são
e
, e a fórmula do método diz:
onde
Passo 4
Calculamos o wronskiano das soluções fundamentais:
Passo 5
Precisamos então calcular os integrais
Note que
Passo 6
Calculamos os integrais:
Passo 7
Substituindo em
:
Passo 8
Somando a parte homogênea e a particular, obtemos a solução geral da equação: