Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO linear não-homogênea de segunda ordem . O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e, como o termo não-homogêneo não se ajusta ao método de coeficientes indeterminados, vamos usar variação de parâmetros após encontrar a solução da parte homogênea.
Passo 2
Começamos pela parte homogênea
que tem equação característica
com raiz dupla . Assim as soluções fundamentais são e , de modo que
Passo 3
Para a parte particular adotamos variação de parâmetros, buscando
e usando as fórmulas
onde e é o Wronskiano de .
Passo 4
Calculamos o Wronskiano:
Substituindo em u1' e u2' resulta:
u1'=-e^-2x/x^2cdot x e^2xe^4x=-e^-4xx, u2'=e^-2x/x^2cdot e^2xe^4x=e^-4xx^2