Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas:
y^prime prime-4 y^prime+4 y=e^-2 xx^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO linear não-homogênea de segunda ordem y''-4y'+4y=e^-2xx^2. O conteúdo é equações lineares com coeficientes constantes e, como o termo não-homogêneo não se ajusta ao método de coeficientes indeterminados, vamos usar variação de parâmetros após encontrar a solução da parte homogênea.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea
y''-4y'+4y=0
que tem equação característica
r^2-4r+4=0
com raiz dupla r=2. Assim as soluções fundamentais são y1=e^2x e y2=x e^2x, de modo que
yh=(C1+C2 x)e^2x

Passo 3

Para a parte particular adotamos variação de parâmetros, buscando
yp=u1(x)y1+u2(x)y2
e usando as fórmulas
u1'=-g(x),y2W, u2'=g(x),y1W,
onde g(x)=e^-2xx^2 e W é o Wronskiano de y1,y2.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano:
W=y1&y2y1'&y2' =e^2x(e^2x+2x e^2x)-2e^2x,x e^2x=e^4x
Substituindo em u1' e u2' resulta:
u1'=-e^-2x/x^2cdot x e^2xe^4x=-e^-4xx, u2'=e^-2x/x^2cdot e^2xe^4x=e^-4xx^2

Passo 5

Agora integramos:
$$
u_1=-\int\frac{e^{-4x}}{x},dx=-Ei(-4x),\quad
u_2=\int\frac{e{-4x}}{x2},dx=-\frac{e^{-4x}}{x}-4Ei(-4x),
$$
onde u1=-integrale^-4xx,dx=-Ei(-4x), u2=integrale^-4xx^2,dx=-e^-4xx-4Ei(-4x), é a função integral exponencial.

Passo 6

A solução particular é
yp=u1y1+u2y2=-Ei(-4x)e^2x+igl(-tfrace^-4xx-4Ei(-4x)r)x e^2x 
Simplificando obtemos
yp=-e^-2x-e^2x(1+4x)Ei(-4x)

Passo 7

Finalmente, a solução geral da EDO não-homogênea é
y(x)=yh+yp=(C1+C2 x)e^2x-e^-2x-e^2x(1+4x)Ei(-4x)

Resposta

y(x)=(C_1+C_2 x)e{2x}-e{-2x}-e^{2x}(1+4x)Ei(-4x)

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