Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.

Passo 1

O exercício pede o resíduo de f(z)=2(z-1)(z+4) no polo simples z=1. O conteúdo é expansão em série de Laurent centrada em z=1 para achar o coeficiente de (z-1)^-1.

Passo 2

Fazemos a troca w=z-1, assim z=1+w e f vira
f(z)=2wl((1+w)+4r)=2w(5+w)

Passo 3

Isolamos o termo que vai gerar a parte principal e reescrevemos de forma a usar a série geométrica:
2w(5+w)=25wcdot11+w5

Passo 4

Como 11+u=sumn=0^infty(-1)^n u^n para |u|<1, tomamos u=w5. Então
25wcdotsumn=0^inftyl(-tfracw5r)^n =sumn=0^infty2,(-1)^nw^n-15^n+1

Passo 5

O resíduo é justamente o coeficiente de w^-1= (z-1)^-1, que aparece quando n=0. Substituindo n=0
2,(-1)^0w^-15^1=25,w^-1

Resposta

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