Use uma série de Laurent adequada e calcule o resíduo indicado.

Passo 1

Temos a função f(z)=1z^3(1-z)^3. O que a gente quer é o resíduo em z=0, ou seja, o coeficiente de z^-1 na série de Laurent de f(z) em torno de zero. Vamos precisar da expansão em série de (1-z)^-3.

Passo 2

Pela fórmula do binômio de Newton para potência negativa, temos
(1 - z)^-3 = sumn=0^infty binomn+3-13-1 z^n = sumn=0^infty binomn+22 z^n
onde binomn+22=(n+2)(n+1)2.

Passo 3

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f(z)=z^-3(1 - z)^-3 = z^-3sumn=0^infty (n+2)(n+1)2 ,z^n = sumn=0^infty (n+2)(n+1)2 ,z^n-3
Aqui a série de Laurent está explícita.

Passo 4

Para encontrar o resíduo, buscamos o termo com z^-1. Como o expoente é n-3, fazemos
n-3 = -1 implies n=2
O coeficiente correspondente é
(2+2)(2+1)2 = 4cdot32 = 6
Portanto, o resíduo de f(z) em z=0 é 6.

Resposta

6

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