Para que valores de
cada série é convergente?
Passo 1
O enunciado dá a série alternante
. O conteúdo é o teste de convergência de séries alternantes (critério de Leibniz) e também o teste de convergência absoluta (teste da integral). Vamos usar o fato de que, para aplicar o critério de Leibniz, precisamos que a sequência de módulos dos termos seja monótona decrescente a partir de certo ponto e que tenha limite zero.
Passo 2
Primeiro, verificamos o limite dos termos. Temos
. Como
cresce muito mais rápido que qualquer potência de
, fica claro que
portanto esse é o primeiro requisito do critério de Leibniz.
Passo 3
Agora, mostramos que
é monótona decrescente para
grande. Considere a função
para
. Calculamos a derivada:
Passo 4
Esse sinal é negativo sempre que
, ou seja, para
. Logo a partir de
a sequência
é decrescente. Assim, pelo critério de Leibniz, a série alternante converge para todo
.
Passo 5
Para estudar a convergência absoluta, olhamos para
. Usando a troca
, temos a integral
Passo 6
Essa integral converge se, e só se,
. Portanto a série de termos absolutos converge apenas quando
e diverge para
.
Resposta
A série
converge para todo
. Ela é absolutamente convergente se
e apenas condicionalmente convergente se
.