Para que valores de p cada série é convergente?
sumn=1^infty(-1)^n-1 (ln n)^pn

Passo 1

O enunciado dá a série alternante sumn=1^infty(-1)^n-1(ln n)^pn. O conteúdo é o teste de convergência de séries alternantes (critério de Leibniz) e também o teste de convergência absoluta (teste da integral). Vamos usar o fato de que, para aplicar o critério de Leibniz, precisamos que a sequência de módulos dos termos seja monótona decrescente a partir de certo ponto e que tenha limite zero.

Passo 2

Primeiro, verificamos o limite dos termos. Temos an=(ln n)^pn. Como n cresce muito mais rápido que qualquer potência de ln n, fica claro que
limntoinfty(ln n)^pn=0
portanto esse é o primeiro requisito do critério de Leibniz.

Passo 3

Agora, mostramos que an é monótona decrescente para n grande. Considere a função f(x)=(ln x)^px para x>1. Calculamos a derivada:
f'(x)=(ln x)^p-1(p-ln x)x^2

Passo 4

Esse sinal é negativo sempre que ln x>p, ou seja, para x>e^p. Logo a partir de n>lceil e^prceil a sequência an é decrescente. Assim, pelo critério de Leibniz, a série alternante converge para todo pinR.

Passo 5

Para estudar a convergência absoluta, olhamos para sumn=2^infty(ln n)^pn. Usando a troca t=ln x, temos a integral
integral2^infty(ln x)^px,dx=integralln2^inftyt^p,dt

Passo 6

Essa integral converge se, e só se, p<-1. Portanto a série de termos absolutos converge apenas quando p<-1 e diverge para p>=-1.

Resposta

A série sumn=1^infty(-1)^n-1(ln n)^pn converge para todo pinR. Ela é absolutamente convergente se p< -1 e apenas condicionalmente convergente se p>= -1.

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