Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes variáveis
O conteúdo é equações lineares de 2ª ordem variáveis. Vamos precisar primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular.
Passo 2
Considerando a homogênea
dividimos por
(assumindo
) para obter a forma padrão
Por inspeção vemos que
é solução (substituindo, dá zero). Para achar
usamos redução de ordem: colocamos
, com
. Calcula-se
Logo
Portanto a homogênea tem solução geral
Passo 3
Para a particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é
, tentamos
Então
Substituindo em
e igualando a
obtemos as equações
Daí
e
. Escolhendo, por simplicidade,
leva
. Logo
Passo 4
A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular: