Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
(x^2-1) y^prime prime-2 x y^prime+2 y=(x^2-1)^2

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes variáveis
(x^2-1)y''-2xy'+2y=(x^2-1)^2
O conteúdo é equações lineares de 2ª ordem variáveis. Vamos precisar primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular.

Passo 2

Considerando a homogênea
(x^2-1)y''-2xy'+2y=0
dividimos por x^2-1 (assumindo x^2neq1) para obter a forma padrão
y''-2xx^2-1y'+2x^2-1y=0
Por inspeção vemos que y1=x é solução (substituindo, dá zero). Para achar y2 usamos redução de ordem: colocamos y2=y1integral e^-integral p(x)dx/y1^2,dx, com p(x)=-2x/(x^2-1). Calcula-se
-integral p(x)dx=integral 2xx^2-1dx=ln|x^2-1|, e^ln|x^2-1|=x^2-1
Logo
y2=xintegralx^2-1x^2dx=xintegrall(1-1x^2r)dx=xl(x+tfrac1xr)=x^2+1
Portanto a homogênea tem solução geral
yh=C1x+C2(x^2+1)

Passo 3

Para a particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o termo não-homogêneo é (x^2-1)^2=x^4-2x^2+1, tentamos
yp=ax^4+bx^2+c
Então
yp'=4ax^3+2bx,
yp''=12ax^2+2b
Substituindo em (x^2-1)y''-2xy'+2y e igualando a x^4-2x^2+1 obtemos as equações
6a=1,
-12a=-2,
-2b+2c=1
Daí a=1/6 e c-b=1/2. Escolhendo, por simplicidade, b=0 leva c=1/2. Logo
yp=16x^4+12

Passo 4

A solução geral da equação original é a soma da homogênea com a particular:

Passo 5

y=C1x+C2(x^2+1)+16x^4+12

Resposta

y=C1x+C2(x^2+1)+tfrac16x^4+tfrac12

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