Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
Passo 1
A questão pede a solução geral da equação de Cauchy-Euler de segunda ordem não-homogênea:
Isso é uma equação com coeficientes variáveis do tipo Euler. Para resolver, a gente vai achar primeiro a solução homogênea usando a forma
Passo 2
Para a parte homogênea, suponho
. Aí
e
. Substituindo em
fica
que leva à equação característica
ou seja
com raízes
e
. Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar um particular, note que o termo não-homogêneo é
, e
já está na solução homogênea. Então a gente multiplica por
e tenta
Calculo as derivadas:
Passo 4
Substituo na equação original:
Reorganizando dá
Para bater com
precisa de
.
Passo 5
Com isso o particular é
.