Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
x^2 y^prime prime-2 x y^prime+2 y=4 x^2

Passo 1

A questão pede a solução geral da equação de Cauchy-Euler de segunda ordem não-homogênea:
x^2y''-2xy'+2y=4x^2
Isso é uma equação com coeficientes variáveis do tipo Euler. Para resolver, a gente vai achar primeiro a solução homogênea usando a forma y=x^m e depois um particular apropriado.

Passo 2

Para a parte homogênea, suponho y=x^m. Aí y'=m x^m-1 e y''=m(m-1)x^m-2. Substituindo em
x^2y''-2xy'+2y=0
fica
x^2l(m(m-1)x^m-2r)-2xl(mx^m-1r)+2x^m=0
que leva à equação característica
m(m-1)-2m+2=0
ou seja
m^2-3m+2=0
com raízes m=1 e m=2. Logo a solução homogênea é
yh=C1x+C2x^2

Passo 3

Para achar um particular, note que o termo não-homogêneo é 4x^2, e x^2 já está na solução homogênea. Então a gente multiplica por ln x e tenta
yp=A x^2ln x
Calculo as derivadas:
yp'=Al(2xln x + xr)=A xl(2ln x+1r),
yp''=Al(2ln x+3r)

Passo 4

Substituo na equação original:
x^2yp''-2xyp'+2yp=Al[x^2(2ln x+3)-2xcdot x(2ln x+1)+2x^2ln xr]
Reorganizando dá
Al(2x^2ln x+3x^2-4x^2ln x-2x^2+2x^2ln xr)=A x^2
Para bater com 4x^2 precisa de A=4.

Passo 5

Com isso o particular é yp=4x^2ln x.

Resposta

y=C1x+C2x^2+4x^2ln x

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