Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de segunda ordem com coeficientes variáveis
O conteúdo principal aqui é a redução de ordem, onde precisamos encontrar uma solução particular simples e depois usar a fórmula de redução de ordem para achar a segunda solução.
Passo 2
Primeiro, vamos tentar uma solução do tipo polinomial simples. Suponha
Então
$$y_1’=1,
\quad y_1’’=0.
x^2\cdot0 - x(x+2)\cdot1 + (x+2)x = -x(x+2) + x(x+2) = 0.$$
Logo,
é uma solução.
Passo 3
Agora colocamos a equação na forma padrão
Dividindo tudo por
então
$$p(x) = -1 - \frac{2}{x},
\quad q(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}.$$
Passo 4
Usamos a fórmula de redução de ordem: se
é solução, então
Calculemos
Assim,
Passo 5
As duas soluções independentes são
e
. Portanto, a solução geral é combinação linear dessas duas: