Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
x^2 y^prime prime-x(x+2) y^prime+(x+2) y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação de segunda ordem com coeficientes variáveis
x^2y''-x(x+2)y'+(x+2)y=0
O conteúdo principal aqui é a redução de ordem, onde precisamos encontrar uma solução particular simples e depois usar a fórmula de redução de ordem para achar a segunda solução.

Passo 2

Primeiro, vamos tentar uma solução do tipo polinomial simples. Suponha
y1=x
Então
$$y_1’=1,
\quad y_1’’=0. y1'=1, y1''=0çãx^2\cdot0 - x(x+2)\cdot1 + (x+2)x = -x(x+2) + x(x+2) = 0.$$
Logo, x^2cdot0 - x(x+2)cdot1 + (x+2)x = -x(x+2) + x(x+2) = 0 é uma solução.

Passo 3

Agora colocamos a equação na forma padrão
y'' + p(x)y' + q(x)y = 0
Dividindo tudo por x^2:
y'' - x+2xy' + x+2x^2y = 0,
então
$$p(x) = -1 - \frac{2}{x},
\quad q(x) = \frac{1}{x} + \frac{2}{x^2}.$$

Passo 4

Usamos a fórmula de redução de ordem: se y1 é solução, então
y2 = y1 integral e^-integral p(x),dxy1^2,dx
Calculemos
e^-integral p(x),dx = e^-integral(-1-2/x)dx = e^integral(1+2/x)dx = e^x + 2ln|x| = e^x x^2
Assim,
y2 = x integral e^x x^2x^2,dx = x integral e^x dx = x e^x

Passo 5

As duas soluções independentes são y1 = x e y2 = x e^x. Portanto, a solução geral é combinação linear dessas duas:

Resposta

y = C1 x + C2 x e^x

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