Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
Passo 1
A equação é de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes variáveis, dada por
. Vamos achar primeiro a solução da parte homogênea e depois uma particular usando variação de parâmetros.
Passo 2
Dividimos a equação por
para entrar na forma padrão
:
A parte homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução do tipo
. Testando
:
logo
é uma solução.
Passo 4
Para achar a 2ª solução
usamos redução de ordem. Na forma padrão temos
. A fórmula diz
Calculamos
portanto
e
Assim
Podemos reescrever
trocando sinal no coeficiente.
Passo 5
Agora aplicamos variação de parâmetros para a parte não-homogênea. Na forma padrão temos
e o wronskiano
As fórmulas são
Calculamos separadamente
Somando,
Passo 6
A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular: