Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
x y^prime prime-(1+x) y^prime+y=x^2 e^2 x

Passo 1

A equação é de 2ª ordem não-homogênea com coeficientes variáveis, dada por x y'' - (1+x)y' + y = x^2 e^2x. Vamos achar primeiro a solução da parte homogênea e depois uma particular usando variação de parâmetros.

Passo 2

Dividimos a equação por x para entrar na forma padrão y'' + P(x)y' + Q(x)y = g(x):
y'' - l(1x +1r)y' + 1x,y = x e^2x
A parte homogênea é
y'' - l(1x +1r)y' + 1x,y = 0

Passo 3

Procuramos uma solução do tipo y=e^rx. Testando y1=e^x:
x(e^x)'' - (1+x)(e^x)' + e^x = x e^x - (1+x)e^x + e^x = 0,
logo y1=e^x é uma solução.

Passo 4

Para achar a 2ª solução y2 usamos redução de ordem. Na forma padrão temos P(x)=-1/x-1. A fórmula diz
y2 = y1(x),integral e^-integral P(x)dxy1^2(x),dx
Calculamos
-integral P(x)dx = integrall(1x+1r)dx = ln x + x,
portanto
e^-integral Pdx = xe^x,
e
integral xe^x(e^x)^2,dx = integral x e^-xdx = -(x+1)e^-x
Assim
y2 = e^xcdot[-(x+1)e^-x] = -(x+1)
Podemos reescrever y2=x+1 trocando sinal no coeficiente.

Passo 5

Agora aplicamos variação de parâmetros para a parte não-homogênea. Na forma padrão temos g(x)=x e^2x e o wronskiano
W = y1 & y2 y1' & y2' = e^xcdot1 - e^xcdot(x+1) = -x e^x
As fórmulas são
yp = -y1 integral y2 gWdx + y2 integral y1 gWdx
Calculamos separadamente
-y1 integral (x+1)(x e^2x)-x e^xdx = e^x integral (x+1)e^x dx = e^x[x e^x] = x e^2x,
y2 integral e^x(x e^2x)-x e^xdx = -(x+1)integral e^2xdx = -x+12 e^2x
Somando,
yp = x e^2x - x+12 e^2x = x-12 e^2x

Passo 6

A solução geral da equação é a soma da homogênea com a particular:

Passo 7

y(x) = C1 e^x + C2(x+1) + x-12 e^2x

Resposta

y(x) = C1 e^x + C2(x+1) + tfracx-12 e^2x

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