Verifique se a série converge ou diverge.
sumn=2^infty 1n-raizn

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série sumn=2^infty1n-raizn. O conteúdo é séries numéricas e vamos precisar usar o teste de comparação e também entender o comportamento assintótico de an=1/(n-raizn).

Passo 2

Reescrevendo o termo geral para enxergar melhor o comportamento quando n cresce:
1n-raizn=1nl(1-1/raiznr)
Como 1/(1-x)=1+x+O(x^2) para xto0, aqui usamos x=1/raizn. Então, para n grande temos
1n-raizn=1ncdot11-1/raiznsim1nl(1+tfrac1raizn+dotsr)
Isso mostra que an se comporta como 1/n quando ntoinfty. Sabendo que a série harmônica sum1/n diverge, isso já indica divergência por comparação assintótica.

Passo 3

Para ser ainda mais direto, note que para todo n>=2 vale n-raizn, então
1n-raizn>1n
e como sumn=2^infty1n diverge, pela comparação direta a nossa série também diverge.

Resposta

A série diverge.

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