Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
(Use o exercĂcio 1(f))
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
, que é da forma da equação de Bessel de ordem
. Vamos usar nisso o resultado de que, para
, as funções de Bessel se reduzem a senos e cossenos.
Passo 2
Para resolver, primeiro construímos a solução geral da equação homogênea associada
Essa é a equação de Bessel de ordem
. Sabemos que
Multiplicando por
obtemos duas soluções independentes
Logo a solução homogênea é
Passo 3
Para achar uma particular, usamos o método de variação de parâmetros na forma padrão
onde normalizamos a EDO para
e
.
Passo 4
Calculamos o Wronskiano de
:
Então
Os dois integrais ficam
Passo 5
Substituindo em variação de parâmetros obtemos
Escrevendo explicitamente e simplificando a parte polinomial,
Passo 6
Juntando tudo, a solução geral da EDO não-homogênea é
Passo 7
Essa forma vale para
e expressa a parte particular em termos de integrais elementares que podem ser escritas via funções especiais, se desejado.
Resposta
y(x)=C_{1}\frac{\sin x}{x}+C_{2}\frac{\cos x}{x}+\frac{3}{2}\frac{\sin x}{x}\int x^{1/2}\sin(2x),dx+\frac{3}{2}\frac{\cos x}{x}\int x^{1/2}\cos(2x),dx - x^{1/2}\cos x