Determine a solução geral das seguintes equaçÔes lineares de segunda ordem nĂŁo-homogĂȘneas (com coeficientes variĂĄveis):
x^2 y^prime prime+x y^prime+(x^2-14) y=3 x^3 / 2 sen x (Use o exercĂ­cio 1(f))

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO x^2y''+xy'+(x^2-tfrac14)y=3x^3/2sin x, que é da forma da equação de Bessel de ordem nu=1/2. Vamos usar nisso o resultado de que, para nu=1/2, as funções de Bessel se reduzem a senos e cossenos.

Passo 2

Para resolver, primeiro construímos a solução geral da equação homogênea associada
x^2y''+xy'+l(x^2-tfrac14r)y=0
Essa é a equação de Bessel de ordem 1/2. Sabemos que
J1/2(x)=raiztfrac2pi xsin x, Y1/2(x)=-raiztfrac2pi xcos x
Multiplicando por raizpi/(2x) obtemos duas soluções independentes
y1(x)=sin xx, y2(x)=cos xx
Logo a solução homogênea é
yh(x)=C1sin xx+C2cos xx

Passo 3

Para achar uma particular, usamos o método de variação de parâmetros na forma padrão
yp=-y1(x)integral!y2(x),r(x)W(x),dx +y2(x)integral!y1(x),r(x)W(x),dx,
onde normalizamos a EDO para
y''+1x y'+l(1-tfrac14x^2r)y = r(x),
e r(x)=3x^-1/2sin x.

Passo 4

Calculamos o Wronskiano de y1,y2:
W(x)=y1y2'-y1'y2=-1x^2
Então
r(x)W(x)=-3x^-1/2sin x;l(-x^2r)=3x^3/2sin x
Os dois integrais ficam
I1=integral 3x^3/2cos xxsin x,dx=tfrac32integral x^1/2sin(2x),dx,
I2=integral 3x^3/2sin xxsin x,dx=integral3x^1/2sin^2x,dx =x^3/2-tfrac32integral x^1/2cos(2x),dx

Passo 5

Substituindo em variação de parâmetros obtemos
yp(x)=y1(x),I1-y2(x),I2
Escrevendo explicitamente e simplificando a parte polinomial,
yp(x)=32sin xxintegral x^1/2sin(2x),dx +32cos xxintegral x^1/2cos(2x),dx -x^1/2cos x

Passo 6

Juntando tudo, a solução geral da EDO não-homogênea é
y(x)=C1sin xx+C2cos xx +32sin xxintegral x^1/2sin(2x),dx +32cos xxintegral x^1/2cos(2x),dx -x^1/2cos x

Passo 7

Essa forma vale para x>0 e expressa a parte particular em termos de integrais elementares que podem ser escritas via funções especiais, se desejado.

Resposta

y(x)=C_{1}\frac{\sin x}{x}+C_{2}\frac{\cos x}{x}+\frac{3}{2}\frac{\sin x}{x}\int x^{1/2}\sin(2x),dx+\frac{3}{2}\frac{\cos x}{x}\int x^{1/2}\cos(2x),dx - x^{1/2}\cos x

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