(PrincĂpio de superposição) Se
e
são soluçães de
e
, respectivamente, mostre que
é solução de
. Use este fato para resolver:
Passo 1
O enunciado pede pra mostrar o princípio da superposição para a equação linear de segunda ordem não homogênea e depois usar isso pra resolver a equação
. O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes e método de superposição: precisamos usar a linearidade do operador
e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito.
Passo 2
Definindo o operador
, se
satisfaz
e
satisfaz
, então pela linearidade temos
Isso mostra que a soma de duas soluções particulares é uma solução particular do problema com o somatório dos termos não homogêneos.
Passo 3
Para o termo
, buscamos
. Substituindo em
dá
logo
Passo 4
Para o termo
, buscamos
. Substituindo em
dá
logo
Então uma solução particular para
Passo 5
A solução geral da equação homogênea
vem da equação característica
cujas raízes são
e
. Assim
Logo a solução geral da EDO dada é a soma de com
.
Logo a solução geral da EDO dada é a soma de
Resposta
y(x)=C_{1}e{-x}+C_{2}e{-2x}+\tfrac{1}{6}e{x}+\tfrac{1}{12}e{2x}