(Princípio de superposição) Se y1 e y2 são soluçães de y^prime prime+f(x) y^prime+g(x) y=h1 e y^prime prime+f(x) y^prime+ g(x) y=h2, respectivamente, mostre que y=y1+y2 é solução de y^prime prime+f(x) y^prime+g(x) y=h1+h2. Use este fato para resolver:
y^prime prime+3 y^prime+2 y=e^x+e^2 x

Passo 1

O enunciado pede pra mostrar o princípio da superposição para a equação linear de segunda ordem não homogênea e depois usar isso pra resolver a equação y''+3y'+2y=e^x+e^2x. O conteúdo é EDOs lineares com coeficientes constantes e método de superposição: precisamos usar a linearidade do operador L[y]=y''+f(x)y'+g(x)y e encontrar soluções particulares para cada termo do lado direito.

Passo 2

Definindo o operador L[y]=y''+f(x)y'+g(x)y, se y1 satisfaz L[y1]=h1 e y2 satisfaz L[y2]=h2, então pela linearidade temos
L[y1+y2]=L[y1]+L[y2]=h1+h2
Isso mostra que a soma de duas soluções particulares é uma solução particular do problema com o somatório dos termos não homogêneos.

Passo 3

Para o termo h1=e^x, buscamos y1=Ae^x. Substituindo em y''+3y'+2y=e^x
(A e^x)''+3(A e^x)'+2(A e^x)=(A e^x+3A e^x+2A e^x)=6A e^x=e^x,
logo 6A=1 e A=1/6, ou seja y1=tfrac16e^x.

Passo 4

Para o termo h2=e^2x, buscamos y2=Be^2x. Substituindo em y''+3y'+2y=e^2x
(4B e^2x+3cdot2B e^2x+2B e^2x)=(4B+6B+2B)e^2x=12B e^2x=e^2x,
logo 12B=1 e B=1/12, ou seja y2=tfrac112e^2x.
Então uma solução particular para e^x+e^2x é yp=y1+y2=tfrac16e^x+tfrac112e^2x.

Passo 5

A solução geral da equação homogênea y''+3y'+2y=0 vem da equação característica r^2+3r+2=0 cujas raízes são r=-1 e r=-2. Assim
yh=C1e^-x+C2e^-2x
Logo a solução geral da EDO dada é a soma de yh com yp.

Resposta

y(x)=C_{1}e{-x}+C_{2}e{-2x}+\tfrac{1}{6}e{x}+\tfrac{1}{12}e{2x}

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