a. Determine uma solução para x e y se
(5 x+j 10)(2-j y)=90-j 70

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
(5x + j10)(2 - jy) = 90 - j70
Aqui, estamos lidando com números complexos, onde j é a unidade imaginária ( j^2 = -1). Nosso objetivo é encontrar os valores de x e y. Para isso, vamos precisar conhecer como multiplicar números complexos e separar as partes real e imaginária.

Passo 2

Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo da equação:
(5x + j10)(2 - jy)
Usamos a distributiva para multiplicar cada termo:
5x times 2 + 5x times (-jy) + j10 times 2 + j10 times (-jy)
Calculando cada parte:
10x - j5xy + j20 - j^2 10y
Lembrando que j^2 = -1, temos:
10x - j5xy + j20 + 10y

Passo 3

Agora, vamos juntar as partes reais e imaginárias:
(10x + 10y) + j(20 - 5xy)
Isso significa que o lado esquerdo da equação fica:
10x + 10y + j(20 - 5xy)

Passo 4

Igualamos as partes reais e imaginárias do lado esquerdo com as do lado direito da equação original:
10x + 10y = 90 (parte real)
20 - 5xy = -70 (parte imaginária) á
Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
  1. 10x + 10y = 90
  2. 20 - 5xy = -70

Passo 5

Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, simplificamos a primeira equação dividindo por 10:
x + y = 9 Rightarrow y = 9 - x
Agora, substituímos y na segunda equação:
20 - 5x(9 - x) = -70
Expandindo:
20 - 45x + 5x^2 = -70
Rearranjando:
5x^2 - 45x + 90 = 0
Dividindo toda a equação por 5:
x^2 - 9x + 18 = 0
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula:
x = 9 pm raiz81 - 722 = 9 pm raiz92 = 9 pm 32
Então, temos duas soluções para x:
x = 122 = 6 ou x = 62 = 3
Correspondentemente, para y:
Se x = 6, y = 9 - 6 = 3
Se x = 3, y = 9 - 3 = 6

Resposta

As soluções para o sistema são:
(x, y) = (6, 3) ou (3, 6)

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