a. Determine uma solução para
e
se
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação para resolver:
Aqui, estamos lidando com números complexos, onde
é a unidade imaginária (
). Nosso objetivo é encontrar os valores de
e
. Para isso, vamos precisar conhecer como multiplicar números complexos e separar as partes real e imaginária.
Passo 2
Primeiro, vamos multiplicar os dois números complexos do lado esquerdo da equação:
Usamos a distributiva para multiplicar cada termo:
Calculando cada parte:
Lembrando que
, temos:
Passo 3
Agora, vamos juntar as partes reais e imaginárias:
Isso significa que o lado esquerdo da equação fica:
Passo 4
Igualamos as partes reais e imaginárias do lado esquerdo com as do lado direito da equação original:
Agora temos um sistema de duas equações para resolver:
Passo 5
Vamos resolver o sistema passo a passo. Primeiro, simplificamos a primeira equação dividindo por 10:
Agora, substituímos
na segunda equação:
Expandindo:
Rearranjando:
Dividindo toda a equação por 5:
Resolvendo a equação quadrática usando a fórmula:
Então, temos duas soluções para
:
Correspondentemente, para
:
Resposta
As soluções para o sistema são: