Determine a solução.
19. t^4 y-5 t^3-t y+y^3=c

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
(4t^3y - 15t^2 - y),dt ;+;(t^4 - t + 3y^2),dy ;=;0
e pede a solução geral na forma implícita F(t,y)=C. Vamos verificar se é uma equação exata e, em caso afirmativo, encontrar a função potencial F.

Passo 2

Definimos
M(t,y) = 4t^3y - 15t^2 - y, N(t,y) = t^4 - t + 3y^2
Calculamos as derivadas parciais
partial Mpartial y = 4t^3 - 1, partial Npartial t = 4t^3 - 1
Como partial M/partial y = partial N/partial t, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos F(t,y) tal que
partial Fpartial t = M(t,y)
Integramos M em relação a t, tratando y como constante:
F(t,y) = integral (4t^3y - 15t^2 - y),dt = yintegral 4t^3dt ;-;integral 15t^2dt ;-;yintegral dt = yt^4 - 5t^3 - yt + g(y),
onde g(y) é uma função a determinar.

Passo 4

Para encontrar g(y), usamos
partial Fpartial y = t^4 - t + g'(y) stackrel!= N(t,y) = t^4 - t + 3y^2
Assim
g'(y) = 3y^2 Longrightarrow g(y) = y^3

Passo 5

Substituindo g(y)=y^3 em F, obtemos a função potencial completa:
F(t,y) = t^4y - 5t^3 - ty + y^3
Logo, a solução geral implícita da equação diferencial é
boxed,t^4y ;-;5t^3 ;-;t,y ;+;y^3 = C,

Resposta

t^4y - 5t^3 - t,y + y^3 = C

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