Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(17.) d yd x=y(x y^3-1)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
dydx = yl(x,y^3-1r)
Esse tipo de equação é da forma de Bernoulli, pois podemos escrevê-la como
dydx + y = x,y^4
Para resolver, vamos usar a substituição clássica de Bernoulli:
u = y^1-n, n=4 implies u = y^-3

Passo 2

Calculamos du/dx em função de y e dy/dx. Como u = y^-3,
dudx = -3,y^-4,dydx
Agora substituímos dydx obtido da equação original dydx=x,y^4-y:
dudx = -3,y^-4l(x,y^4-yr) = -3,l(x - y^-3r) = -3,x + 3,u

Passo 3

Reorganizando, obtemos uma equação linear em u:
dudx - 3,u = -3,x

Passo 4

Encontramos o fator integrante. Como o coeficiente de u é -3,
mu(x) = e^integral(-3),dx = e^-3x
Multiplicamos toda a equação por mu(x):
e^-3xdudx - 3,e^-3xu = -3,x,e^-3x Longrightarrow ddxl(u,e^-3xr) = -3,x,e^-3x

Passo 5

Integramos em x:
u,e^-3x = integral -3,x,e^-3x,dx
Fazendo integração por partes em integral x e^-3xdx surge
integral -3,x,e^-3x,dx = x,e^-3x + tfrac13,e^-3x + C
Logo
u,e^-3x = x,e^-3x + tfrac13,e^-3x + C Longrightarrow u = x + tfrac13 + C,e^3x

Passo 6

Voltando à variável y, lembramos que u=y^-3. Assim,
y^-3 = x + tfrac13 + C,e^3x
Podemos reescrever x+tfrac13=(3x+1)/3 e absorver constantes, definindo K=3C:
y^3 = 33x+1 + K,e^3x Longrightarrow y = (33x+1 + K,e^3x)^!1/3

Resposta

y(x) = l(3x+1 + K,e^3xr)^-1/3,3^1/3,
onde K é a constante de integração.

Exercícios relacionados