Resolva a equação diferencial dada por meio de uma substituição apropriada.
(17.)
(17.)
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Esse tipo de equação é da forma de Bernoulli, pois podemos escrevê-la como
Para resolver, vamos usar a substituição clássica de Bernoulli:
Passo 2
Calculamos
em função de
e
. Como
,
Agora substituímos
obtido da equação original
:
Passo 3
Reorganizando, obtemos uma equação linear em
:
Passo 4
Encontramos o fator integrante. Como o coeficiente de
é
,
Multiplicamos toda a equação por
:
Passo 5
Integramos em
:
Fazendo integração por partes em
surge
Logo
Passo 6
Voltando à variável
, lembramos que
. Assim,
Podemos reescrever
e absorver constantes, definindo
:
Resposta
onde
é a constante de integração.