Nos exercícios a seguir, determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) em que a função f circ g é contínua.
f(x)=raizx e g(x)=x^2+4

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos saber onde fcirc g é contínua, sendo
f(x)=raizx e g(x)=x^2+4. O conteúdo principal é continuidade de composição de funções e domínio de definição. Para resolver, vamos achar o domínio de g, o domínio de f e então o domínio de fcirc g, além de usar que polinômios e raízes quadradas (em seu domínio) são contínuos.

Passo 2

O domínio de g é todo R, pois g(x)=x^2+4 está definida para qualquer xinR. Como g é polinomial, é contínua em todo esse domínio.

Passo 3

O domínio de f é [0,infty), já que raizx exige x>=0. Para f(g(x)) existir, precisamos de
g(x)in[0,infty)
Mas como g(x)=x^2+4>=4 para todo x, temos sempre g(x)>=0. Logo, não há restrição extra: todo xinR faz g(x) cair em [0,infty).

Passo 4

Portanto o domínio natural de fcirc g é R. Além disso, g é contínua em R e f é contínua em [0,infty). Pelo teorema da continuidade de composição, fcirc g é contínua em todo o seu domínio, isto é, em R.

Resposta

O maior intervalo em que fcirc g é contínua é (-infty,infty).

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