Nos exercícios a seguir, determine o maior intervalo (ou a união de intervalos) em que a função f circ g é contínua.
f(x)=raizx+1 e g(x)=raiz[3]x

Passo 1

No enunciado temos as funções f(x)=raizx+1 e g(x)=raiz[3]x. Queremos o maior intervalo em que a composição (fcirc g)(x)=raizraiz[3]x+1 é contínua. Para isso, vamos usar que uma composição de funções contínuas é contínua no domínio comum delas, e devemos achar as restrições de domínio vindas da raiz quadrada.

Passo 2

A função g(x)=raiz[3]x está definida e é contínua para todo xinR. Logo o domínio de g é R.

Passo 3

A composição é
(fcirc g)(x)=f(g(x))=raizraiz[3]x+1
Para que essa expressão faça sentido, o termo dentro da raiz quadrada deve ser não negativo, isto é,
raiz[3]x+1>=0

Passo 4

Resolvendo a desigualdade:
raiz[3]x>=-1
Como a função raiz[3]x é crescente, aplicamos o cubo nos dois lados e obtemos
x>=(-1)^3=-1

Passo 5

Portanto, o domínio de (fcirc g) é [-1,infty). Sabendo que g é contínua em R e f é contínua em [-1,infty), pela propriedade de continuidade de composições, (fcirc g)(x) é contínua em todo o seu domínio, isto é, em [-1,infty).

Resposta

O maior intervalo em que fcirc g é contínua é [-1,infty).

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