Resolva os PVI’s usando o método das variáveis separáveis.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um PVI (Problema de Valor Inicial) com a equação diferencial:
E a condição inicial é
.
O conteúdo que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis, que ajuda a resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis
e
em lados opostos da equação. Vamos precisar rearranjar essa equação para conseguir aplicar esse método.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. A equação dada é:
Podemos reescrever isso como:
Agora, dividindo ambos os lados por
, temos:
E, assim, a derivada
fica:
Passo 3
Agora, vamos tentar separar as variáveis
e
. Queremos escrever a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os termos com
fiquem do outro lado.
Para isso, multiplicamos ambos os lados por
:
Agora, temos:
Passo 4
Vamos calcular as integrais de ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
Calculando cada parte:
Portanto, a integral do lado esquerdo é:
Agora, a integral do lado direito:
Passo 5
Juntando as duas integrais, temos:
Podemos simplificar os termos das constantes
e
em uma única constante
:
Passo 6
Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de
. Sabemos que quando
,
.
Substituindo esses valores na equação:
Sabemos que
, então:
Passo 7
Finalmente, substituímos o valor de
de volta na equação geral:
Essa é a solução implícita do PVI dado.
Resposta
A solução do PVI é dada por