Resolva os PVI’s usando o método das variáveis separáveis.
l-3 x^2 d x+(4 y-cos y) d y=0 y(0)=pi

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um PVI (Problema de Valor Inicial) com a equação diferencial:
-3x^2 , dx + (4y - cos y) , dy = 0
E a condição inicial é y(0) = pi .
O conteúdo que vamos usar aqui é o método das variáveis separáveis, que ajuda a resolver equações diferenciais onde conseguimos separar as variáveis x e y em lados opostos da equação. Vamos precisar rearranjar essa equação para conseguir aplicar esse método.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar dy/dx . A equação dada é:
-3x^2 , dx + (4y - cos y) , dy = 0
Podemos reescrever isso como:
(4y - cos y) , dy = 3x^2 , dx
Agora, dividindo ambos os lados por (4y - cos y) , temos:
dy = 3x^24y - cos y , dx
E, assim, a derivada dy/dx fica:
dydx = 3x^24y - cos y

Passo 3

Agora, vamos tentar separar as variáveis x e y . Queremos escrever a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os termos com x fiquem do outro lado.
Para isso, multiplicamos ambos os lados por (4y - cos y) :
(4y - cos y) , dy = 3x^2 , dx
Agora, temos:
integral (4y - cos y) , dy = integral 3x^2 , dx

Passo 4

Vamos calcular as integrais de ambos os lados. Primeiro, a integral do lado esquerdo:
integral (4y - cos y) , dy = integral 4y , dy - integral cos y , dy
Calculando cada parte:
integral 4y , dy = 2y^2
integral cos y , dy = sin y
Portanto, a integral do lado esquerdo é:
2y^2 - sin y + C1
Agora, a integral do lado direito:
integral 3x^2 , dx = x^3 + C2

Passo 5

Juntando as duas integrais, temos:
2y^2 - sin y + C1 = x^3 + C2
Podemos simplificar os termos das constantes C1 e C2 em uma única constante C :
2y^2 - sin y = x^3 + C

Passo 6

Agora, vamos usar a condição inicial para encontrar o valor de C . Sabemos que quando x = 0 , y = pi .
Substituindo esses valores na equação:
2(pi)^2 - sin(pi) = (0)^3 + C
Sabemos que sin(pi) = 0 , então:
2pi^2 - 0 = 0 + C implies C = 2pi^2

Passo 7

Finalmente, substituímos o valor de C de volta na equação geral:
2y^2 - sin y = x^3 + 2pi^2
Essa é a solução implícita do PVI dado.

Resposta

A solução do PVI é dada por
2y^2 - sin y = x^3 + 2pi^2

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